1. Chebishev tengsizligi. Markov tengsizligi. Chebishev teoremasi

Teorema(Chebishev). Agar bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun shunday bo‘lib tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda uchun
(7)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. bo‘lgani uchun
. U holda Chebishev tengsizligiga ko‘ra:
. (8)
Endi da limitga o‘tsak, .
Natija. Agar bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar va bo‘lsa, u holda uchun quyidagi munosabat o‘rinli
. (9)
Bernulli teoremasi katta sonlar qonuninig sodda shakli hisoblanadi.
U nisbiy chastotaning turg‘unligini asoslaydi.
Teorema(Bernulli). Agar A hodisaning bitta tajribada ro‘y berishi ehtimolligi p bo‘lib, n ta bog‘liqsiz tajribada bu hodisa marta ro‘y bersa, u holda uchun
(10)
munosabat o‘rinli.
Isboti. indikator tasodifiy miqdorlarni quyidagicha kiritamiz: agar i-tajribada A hodisa ro‘y bersa, ; agar ro‘y bermasa . U holda ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: . tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni ixtiyoriy i da: bo‘ladi. tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi ga, dispersiyasi . tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz va ularning dispersiyalari chegaralangan, U holda Chebishev teoremasiga asosan: va ;
A.Kolmogorov 1926 yilda bogliqsiz tasodfiy mirdorlar ketma-ketligining katta sonlar qonuniga bo`ysunishi uchun zarur va yetarli sartni ko`rsatgan.
Keyinchalik Chebishev metodidan foydalanib ixtiyoriy { tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun quyidagi teorema isbotlandi.
Teorema. Ixtiyoriy { tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo`ysunishi uchun n→

M →0 (11)

munosabatning o`rinli bo`lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Faraz qilaylik, (11) shart bajarilisin.
(x)=P{ U holda
P{ ≤
tengsizlikka ega bo`lamiz va bu tengsizlikdan katta sonlar qonuni o`rinliligi kelib chiqadi.
Endi zarurligini ko`rsatamiz, katta sonlar qonuni o`rinli bo`lsin. U holda
P{ ≥ = ≥ , bundan
0≤ ≤ P{ .
Bu tengsizlikning o`ng tomonini n ni tanlash orqali kichik qilish mumkin,bu esa (11) munosabat o`rinlilirgini ko`rsatadi.
Endi Xinchin teoremasini keltiramiz.
Teorema (Xinchin teoremasi). Agar bog`liqsiz { tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bir xil taqsimlangan bo`lib, matematik kutilmalari mavjud bo`lsa, bu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun katta sonlar qonuni o`rinli bo`ladi,ya`ni M =a bo`lganda