1. Chiziqlar bir tekislikda yotadi va kesishadi

Kosmosdagi ikkita chiziq turli yo'llar bilan joylashishi mumkin. Birinchidan, ikkita chiziq umumiy nuqtaga ega bo'lishi mumkin. Keyin ular, albatta, bir tekislikda yotishadi. Haqiqatan ham, bunday tekislikni qurish uchun uni uchta nuqtadan o'tkazish kifoya: ko'rsatilgan chiziqlar kesishmasining A nuqtasi (323-rasm) va chiziqlar bo'yicha mos ravishda olingan C va B nuqtalari. Har bir chiziq bilan ikkita umumiy nuqtaga ega bo'lgan tekislik ikkala chiziqni ham o'z ichiga oladi.
Keling, berilgan chiziqlarning umumiy nuqtalari bo'lmasin. Bu ularning parallel ekanligini anglatmaydi, chunki parallel ta'rifi chiziqlar bir tekislikka tegishli ekanligini bildiradi. Chiziqlarimizning joylashuvi haqidagi savolni hal qilish uchun, masalan, ulardan biri va boshqa to'g'ri chiziq, K tekislikdagi ixtiyoriy ravishda olingan A nuqtani o'tkazamiz. Ikkita holat mumkin:
1) Tuzilgan tekislik butun ikkinchi chiziqni o'z ichiga oladi (324-rasm). Bunday holda, turdagi chiziqlar bir xil tekislikka tegishli va kesishmaydi va shuning uchun parallel bo'ladi.
2) X tekislik chiziqni A nuqtada kesib o'tadi.U holda ikkala chiziq ham bir tekislikda yotmaydi. Bunday chiziqlar kesishuvchi deyiladi (325-rasm).
Shunday qilib, ikkita chiziqni o'zaro tartibga solishning uchta asosiy holati mavjud.
1. Chiziqlar bir tekislikda yotadi va kesishadi.
2. Chiziqlar bir tekislikda yotadi va parallel.
3. Chiziqlar kesishadi, ya’ni bir tekislikda yotmaydi.
Misol. Kubning 12 ta chetidan siz bir juft tekis chiziq hosil qilishingiz mumkin. Ulardan 24 juft kesishuvchi, 24 juft kesishuvchi va 18 juft parallel chiziqlar. Buning to'g'riligiga o'quvchi model yoki chizma orqali ishonch hosil qiladi.
E'tibor bering, kosmosda parallel chiziqlar postulati o'z kuchida qoladi:
Chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali unga parallel faqat bitta chiziq bor.
Haqiqatan ham, chiziq va undan tashqarida berilgan nuqta, ushbu chiziqqa parallel ravishda qidirilayotgan chiziq yotishi kerak bo'lgan tekislikni aniqlaydi, uning o'ziga xosligi parallellar postulatidan kelib chiqadi.
Biz parallel chiziqlar xossalari bilan bog'liq planimetriya ikki mashhur takliflar fazo ishi uchun maxsus asoslash talab qiladi, deb qayd (qarang. Sec. 232).
Ikki chiziq uchdan biriga parallel bo'lsa, u holda ular bir-biriga parallel; tomonlari mos ravishda parallel va teng yo'naltirilgan ikkita burchak tengdir.
Bu takliflarning ikkinchisiga kelsak, egri chiziqlar orasidagi burchakning ta'rifi unga asoslanishini ta'kidlaymiz: ikki qiyshiq chiziq orasidagi burchak ularga parallel bo'lgan va ixtiyoriy M nuqta orqali o'tkazilgan ikkita chiziq orasidagi burchakdir. Shubhasiz, bunday ta'rif burchakning M nuqtasini tanlashga bog'liq emasligi haqidagi taxminga asoslanadi (232-bandga qarang).
Berilgan nuqtadan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar - bu berilgan nuqtadan berilgan chiziqqa to'g'ri burchak ostida chizilgan va uni kesib o'tuvchi chiziq. To'g'ri chiziqda bo'lmagan nuqta orqali unga faqat bitta perpendikulyar bor. Haqiqatan ham, kerakli perpendikulyar berilgan chiziq va nuqta bilan aniqlangan tekislikda yotishi kerak va shuning uchun unga planimetriya qoidalari qo'llaniladi. Biroq, to'g'ri chiziqda yotgan nuqtadan unga cheksiz ko'p perpendikulyarlarni o'tkazish mumkin: bu to'g'ri chiziq orqali o'tkaziladigan har bir tekislikda bittadan.
Ushbu maqolada biz uch oʻlchamli fazoda toʻgʻri chiziq tushunchasi bilan shugʻullanamiz, toʻgʻri chiziqlarning nisbiy joylashuvi variantlarini koʻrib chiqamiz va fazoda toʻgʻri chiziqni aniqlashning asosiy usullariga toʻxtalamiz. Yaxshiroq taqdimot qilish uchun biz grafik rasmlarni taqdim etamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.

Fazoda parallel chiziqlarga ta'rif berganimizdan so'ng, ularning ahamiyatiga ko'ra to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorlari haqida gapirish kerak. Bu chiziqda yoki unga parallel bo'lgan chiziqda yotuvchi nolga teng bo'lmagan har qanday vektor chiziqning yo'naltiruvchi vektori deb ataladi. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori kosmosdagi to'g'ri chiziqqa oid masalalarni hal qilishda juda tez-tez ishlatiladi.

Nihoyat, uch o'lchamli fazoda ikkita chiziq qiyshiq bo'lishi mumkin. Kosmosdagi ikkita chiziq, agar ular bir tekislikda yotmasa, kesishadi deyiladi. Kosmosdagi ikkita chiziqning bunday o'zaro joylashishi bizni egri chiziqlar orasidagi burchak tushunchasiga olib keladi.

Kosmosda to'g'ri chiziqni yagona aniqlashning bir necha usullari mavjud. Keling, asosiylarini sanab o'tamiz. Biz aksiomadan bilamizki, to'g'ri chiziq ikkita nuqtadan o'tadi va faqat bitta. Shunday qilib, agar biz fazoda ikkita nuqtani belgilasak, bu bizga ular orqali o'tadigan to'g'ri chiziqni yagona aniqlash imkonini beradi. Agar uch o‘lchamli fazoga to‘g‘ri to‘rtburchak koordinatalar sistemasi kiritilsa va uning ikki nuqtasining koordinatalarini ko‘rsatib to‘g‘ri chiziq berilsa, u holda berilgan ikkita nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzish imkoniga ega bo‘lamiz.

Fazodagi chiziqni ko'rsatishning ikkinchi usuli teoremaga asoslanadi: fazoning berilgan to'g'rida yotmaydigan istalgan nuqtasi orqali berilgan chiziqqa parallel va faqat bitta chiziq o'tadi. Shunday qilib, agar biz chiziqni (yoki ushbu chiziqning segmentini) va unda yotmagan nuqtani ko'rsatsak, u holda berilgan nuqtadan o'tadigan va unga parallel ravishda o'tadigan chiziqni aniqlaymiz.

Chiziq o'tadigan nuqta va uning yo'nalishi vektorini belgilashingiz mumkin. Bu sizga chiziqni noyob tarzda aniqlash imkonini beradi.
Agar to'g'ri chiziq qo'zg'almas to'rtburchaklar koordinatalar tizimiga nisbatan shu tarzda aniqlansa, biz darhol uning fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini va fazodagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini darhol yozishimiz mumkin.

Fazoda to'g'ri chiziqni belgilashning keyingi usuli stereometriya aksiomasiga asoslanadi: agar ikkita tekislik umumiy nuqtaga ega bo'lsa, unda bu tekisliklarning barcha umumiy nuqtalari yotadigan umumiy to'g'ri chiziq mavjud.
Shunday qilib, ikkita kesishgan tekislikni o'rnatish orqali biz fazoda to'g'ri chiziqni noyob tarzda aniqlaymiz.

Kosmosdagi chiziqni ko'rsatishning yana bir usuli teoremadan kelib chiqadi (uning isbotini ushbu maqolaning oxirida keltirilgan kitoblarda topishingiz mumkin): agar tekislik va unda yotmagan nuqta berilgan bo'lsa, unda bitta chiziq o'tadi. bu nuqta orqali va berilgan tekislikka perpendikulyar.
Shunday qilib, to'g'ri chiziqni aniqlash uchun siz kerakli chiziq perpendikulyar bo'lgan tekislikni va bu chiziqdan o'tadigan nuqtani belgilashingiz mumkin.
Agar kiritilgan to'rtburchaklar koordinatalar sistemasiga nisbatan to'g'ri chiziq shu tarzda aniqlansa, u holda berilgan tekislikka perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi maqolasining materialiga egalik qilish foydali bo'ladi.
Eslatib o'tamiz, egri chiziqlar orasidagi burchak ularga parallel va bir nuqtadan o'tuvchi chiziqlar orasidagi burchakdir. Boshqacha qilib aytganda, agar to'g'ridan-to'g'ri l o va l 1 kesishadi, keyin chiziqning parallel tarjimasini qilishimiz kerak l o to'g'ri chiziq olish uchun l o ¢ bilan kesishadi l 1 va orasidagi burchakni o'lchang l o ¢ va l 1 .

Ikkita kesishuvchi chiziq bitta umumiy perpendikulyarga ega. Uning uzunligi chiziqlar orasidagi masofa deb ataladi.

Fazodagi ikkita chiziq ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin:

l o:==, l 1: = = . (35)

Shunda biz darhol xulosa qilishimiz mumkin ( a 1 , a 2 , a 3) ½½ l o , ( b 1 , b 2 , b 3) ½½ l 1 , A o ( x o , y o , z o) O l o , A 1 (x 1 , y 1 , z 1) O l bitta. Keling, matritsa tuzamiz

x 1 – x o y 1 – y o z 1 –z o

A = a 1 a 2 a 3 ,

b 1 b 2 b 3

va D = det bo'lsin A.

8.1 teorema.l va p orasidagi burchak formula bo'yicha hisoblanadi

cos a ==. (36)

2. To'g'ridan-to'g'ri l o va l 1 chatishtirishÛ D ≠ 0.

3. To'g'ridan-to'g'ri l o va l 1 kesishadiÛ D = 0 va qarama-qarshi emas.

4. l o½½ l 1 daraja A= 2 va ½½.

5. l o= l 1 daraja A = 1.

Isbot. 1. Chiziqlar orasidagi burchak a l o va l 1 bo'lishi mumkin burchakka teng b ularning yo'nalish vektorlari orasida va unga qo'shni bo'lishi mumkin. Birinchi holda

cos a = cos b =,

Ushbu formula birinchi holatda ham ishlaydi. E'tibor bering, chizma to'g'ri chiziqni ko'rsatmaydi. l o , va unga parallel chiziq l o ¢ .
2, 3. Shubhasiz, to'g'ridan-to'g'ri l o va l 1 parallel emas, agar ularning yo'nalish vektorlari va kollinear bo'lmasa. Bunday holda, chiziqlar bir xil tekislikda yotadi va kesishadi Û vektorlar koplanar Û ularning aralash mahsuloti nolga teng: = 0. Va koordinatalarda bu aniqlik mahsuloti D ga teng.
4, 5. Agar l o½½ l 1 yoki l o= l 1, keyin ½½. Lekin birinchi holatda vektor kollinear emas va shuning uchun matritsaning birinchi qatori A ikkinchi va uchinchi qatorlarga nomutanosib. Shunday qilib, daraja A = 2.

Ikkinchi holda, barcha uch vektorlar bir-biriga to'g'ri keladi va shuning uchun barcha qatorlar

matritsada A mutanosib. Shunday qilib, daraja A = 1.

Va aksincha, agar || , keyin to'g'ri chiziqlar l o va l 1 parallel yoki mos keladi; matritsaning ikkinchi va uchinchi qatorlari esa A mutanosib. Agar, qo'shimcha ravishda, daraja A= 2, u holda matritsaning birinchi qatori ikkinchi va uchinchi qatorlarga proportsional emas, ya'ni vektor kollinear emas va Û l o || l bitta. Agar daraja A= 1, keyin matritsadagi barcha qatorlar A proportsionaldir, ya'ni barcha uch vektor bir-biriga Û kollineardir l o= l 1 .

Teorema 9.Ikki qator l bo'lsin o va l 1 fazoda ularning kanonik tenglamalari bilan berilgan (35). Keyin

1. agar l o½½ l 1 , keyin l orasidagi masofa o va l 1 formula bo'yicha topiladi

h = , (37)

2. agar l o va l 1 kesishadi, keyin ular orasidagi masofa formula bo'yicha topiladi