Reja Fazoda to‘g‘ri chiziq To’g’ri chiziqning turli tenglamalari

15-Ma’ruza. Fazoda to'g'ri chiziq. To'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashishi.

Reja

1.Fazoda to‘g‘ri chiziq

2.To’g’ri chiziqning turli tenglamalari.

Tayanch iboralar: Fazo,to’g’ri chiziq,kanonik ko’rinish.

Fazoda to‘g‘ri chiziq

Ma’lumki, geometrik shakllar nuqtalar to‘plami (nuqtalarning geometrik o‘rni) sifatida ta’riflanadi. Jumladan, fazodagi to‘g‘ri chiziqni ikki tekislikning kesishish nuqtalari to‘plami (nuqtalarning geometrik o‘rni) deb qaraladi.

Aytaylik, fazoda dekart koordinatalar sistemasi o‘rnatilgan bo‘lsin. Bu sistemada ikki

,

tekisliklarni qaraylik. Ular o‘zaro parallel bo‘lmasin (bu holda bo‘lishi keyinchali ko‘rsatiladi), ustma-ust ham tushmasin. Ravshanki, qaralayotgan tekisliklar kesishishib, to‘g‘ri chiziqni hosil qiladi (3-chizma).

3-chizma

Endi bunday to‘g‘ri chiziqning tenglamasini keltirib chiqaramiz.

Modomiki, fazodagi to‘g‘ri chiziq yuqoridagi tekisliklarning kesishish nuqtalaridan iborat to‘plam ekan, ravshanki bunday nuqtalar to‘plami ushbu

(14)

sistema yechimlaridan iborat to‘plam bo‘ladi.

Ma’lumki, uch noma’lumli ikkita tenglamadan iborat sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.

(14) sistemaning yechimi quyidagicha topiladi. Noma’lumlardan birini, masalan ni biror qiymatini olib, uni (14) sistemadagi ning o‘rniga qo‘yamiz. Natijada (14) sistema ushbu

(15)

ko‘rinishdagi sistemaga keladi.

Ma’lumki,

bo‘lganda

bo‘ladi. Unda (15) sistema yechimga ega bo‘lib, uning yechimlari

bo‘ladi.

Shunday qilib, qaralayotgan (14) sistemaning yechimi bo‘ladi.

To‘g‘ri chiziqda ihtiyoriy nuqtani olamiz. Ravshanki,

nuqtalar to‘g‘ri chiziqda yotgani uchun ularning koordinatalari (14) sistemani qanoatlantiradi:

Keyingi sistemalardagi mos tenglamalarini ayirib topamiz:

Bu sistemadan

bo‘lishi kelib chiqadi.

Natijada

(16)

bo‘ladi. Бу va nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasidir,

To’g’ri chiziqning turli tenglamalari.

Yuqoridagi tenglamadan

Agar

deyilsa, unda (16) munosabat ushbu

(17)

ko‘rinishga keladi.

(17) tenglama fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.

Misоl.Ushbu

sistemasi bilan aniqlanadigan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi topilsin.

◄Avvalo izlanayotgan to‘g‘ri chiziqning biror nuqtasini topamiz. Aytaylik, bo‘lsin. Unda berilgan sistema quyidagi

sistemaga keladi. Bu sistemani yechib,

bo‘lishini topamiz.

Demak, bo‘lib, nuqta to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘ladi.

Berilgan sistemadan

bo‘lishini aniqlaymiz.

Unda

bo‘ladi.

(16) formuladan foydalanib, izlanayotgan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi

bo‘lishini topamiz.►

Fazodagi biror to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi

ni qaraylik. Bu tenglikdagi har bir nisbatni bilan belgilasak, unda

bo‘ladi. Keyingi tengliklardan

(18)

bo‘lishi kelib chiqadi.

(18) tenglamalar sistemasi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi, esa parametr deyiladi.

To‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasidan ko‘p foydalaniladi. Jumladan to‘g‘ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini topishda undan foydalaniladi.

Misоl.Ushbu



to‘g‘ri chiziq hamda



tekislik berilgan. Ularning kesishish nuqtasi topilsin.

◄Aytaylik, kesishish nuqtasi bo‘lsin. To‘g‘ri chiziq va tekislik tenglamalaridan foydalanib, kesishish nuqtasining koordinatalarini topish lozim bo‘ladi.

To‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasini yozamiz:

.

Unda

bo‘lib bu qiymatlarini tekislik tenglamasidagi larning o‘rniga qo‘yamiz:

.

Bu tenglamani yechib, ekanini topamiz. Unda bo‘lib, kesishish nuqtasi bo‘ladi.

Nazorat savollari

1. Fazoda to’g’ri chiziq tenglamasini keltiring.

2. Fazoda to’g’ri chiziq qanday joylashadi.

3. Fazoda tekislikning qanday joylashadi.