1. Ferma teoremasi intervalda aniqlangan

3. Lagranj teoremasi. Agar funksiya segmentda uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi bo`lsa, u holda bu segment ichida juda bo`lmaganda bitta nuqta topiladiki, bunda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi:


9 – rasm
(61)

Isboti. 9 – rasmda funksiyaning grafigi ko`rsatilgan. Ikkita va nuqta orqali o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasidan foydalanib, vatar tengamasini yozamiz:

Bundan vatarning ordinatasini aniqlanadi:

Endi funksiya grafigi va vatar ordinatalari ayirmasiga teng bo`lgan ning bitta o`sha qiymatiga mos keladigan funksiyani qaraylik:

Bu funksiya Roll` teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirishini oson tekshirish mumkin. Haqiqatan, bu funksiya segmentda uzluksiz, chunki va lar bu segmentda uzluksiz.

(62)

hosila intervalda mavjud, chunki unda mavjud. Segmentning oхirlarida Roll` teoremasiga ko`ra segmentning ichida nuqtani topish mumkinki, unda bo`ladi. (62) tenglik asosida quyidagini topamiz:

Bundan

ni topamiz, shuni isbot qilish talab qilingan edi.

Lagranj teoremasini geometrik ma`nosini quyidagicha tushuntirish mumkin. Teorema shartini qanoatlantiradigan funksiyaning grafigini qaraylik.

nisbat yoyning oхirlarini tutashtiruvchi vatarning burchak koeffisientini tasvirlaydi. urinmaning burchak koeffisienti bo`lgani uchun Lagranj teoremasi funksiya grafigida hech bo`lmaganda bitta nuqta topilishini, bu nuqtada urinma yoy oхirlarini tutashtiruvchi vatarga parallel bo`lishini tasdiqlaydi. (61) formula ko`pincha quyidagicha yoziladi:

(63)

Bu tenglik quyidagicha o`qiladi: segmentda differensiallanuvchi bo`lgan funksiyaning orttirmasi (ya`ni argumentning orttirmasi) segment uzunligining bu segment ichidagi biror nuqtasidagi funksiya hosilasining ko`paytmasiga teng ekan.

(63) formula Lagranj formulasi yoki cheksiz orttirmalar formulasi deyiladi.