1. Funksiya limiti, limitlar haqida teoremalar Ta’rif

Misоl. y=2x+1 funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi ko`rsаtilsin
Yechish. (2x+1)=5; f(2)=5
Uzluksizlik tushunchаsigа  vа  tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn.
1-ta’rif (Koshi ta’rifi).  > 0 son uchun shunday  = ()>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning |x-x<sub>0</sub>|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)-f(x<sub>0</sub>)|< tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi, f(x)=f(x<sub>0</sub>).
1-misol. Ushbu f(x)= funksiyaning x<sub>0</sub>=5 nuqtada uzluksiz ekanini ko`rsating.
Yechish.  > 0 son olib, bu  songa ko`ra  >0 soni  = 4 bo`lsin deb qaralsa, u holda |x-5|< bo`lganda

bu esa qurilayotgan funksiyaning x₀=5 nuqtada uzluksiz ekanini bildiradi.

2-ta’rif (Geyne ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan va x<sub>0</sub> ga intiluvchi har qanday {x<sub>n</sub>} ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f(x<sub>n</sub>)} ketma-ketlik hamma vaqt yagona f(x<sub>0</sub>) ga intilsa, f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar munosabat o`rinli bo`lsa, ushbu munosabat ham o`rinli bo`ladi.
Odatda x-x<sub>0</sub> ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x<sub>0</sub>) esa funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi orttirmasi deyiladi. Ular mos ravishda x va y (f(x<sub>0</sub>)) kabi belgilanadi, ya’ni: x=x-x<sub>0</sub>, y=f(x<sub>0</sub>)=f(x)-f(x<sub>0</sub>).
Demak, x=x<sub>0</sub>+x, y=f(x<sub>0</sub>+x)-f(x) natijada, munosabat ko`rinishga ega bo’ladi.
Shunday qilib, f(x) funksiyaning x₀ nuqtada uzluksizligi bu nuqtada argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.