1. Funksiyanın törəməsi. Tərif 1

1. Funksiyanın törəməsi.
Tərif 1. Əgər şərtində (1) nisbətinin sonlu limiti varsa, onda həmin limitə y=f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi deyilir.

Verilmiş x nöqtəsində törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. (a, b) intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır.
Funksiyanın törəməsini tapmaq əməlinə həmin funksiyanın diferensiallanması deyilir.
Misal 1. f(x) =x funksiyanın törəməsi vahidə bərabərdir.
Bunu isbat etmək üçün arqumentin verilmiş artımına funksiyanın uyğun artımını tapaq;

Buradan;


2. Törəmənin həndəsi və mexaniki mənası.

►Törəmənin həndəsi mənasının tərifi. İxtiyari L əyrisi və onun üzərində M₀ nöqtəsində götürək. L əyrisinin ixtiyari M və M₀ nöqtəsindən bir kəsən çəkək. M nöqtəsi L əyrisi boyunca öz yerini dəyişdikdə M₀M kəsəni də ümümiyyətlə M₀ nöqtəsi ətrafında öz vəziyyətini dəyişər və nəticədə M₀ nöqtəsinə yaxınlaşdıqda M₀M kəsəni müəyyən M₀T limit vəziyyətinə yaxınlaşarsa, kəsənin həmin limit vəziyyətinə M₀ nöqtəsində L əyrisinə toxunan deyilir.

Deməli törəmənin həndəsi mənası belədir: y=f(x) funksiyasının x₀ nöqtəsində
f ꞌ(x₀) funksiyanın qrafiki olan əyriyə M₀ (x₀ , f (x₀)) nöqtəsində çəkilmiş bucaq əmsalına bərabərdir:
k = tg (1)
►İndi isə həmin L əyrisinə M₀ nöqtəsində çəkilmiş M₀T toxunanın tənliyini yazaq. Məlumdur ki verilmiş nöqtədən keçən və bucaq əmsalı k olan M₀T düzxəttinin tənliyi
(2)
şəklində yazılır. y₀= olduğundan toxunanın tənliyini
(3)
►L əyrisinə M₀ nöqtəsində çəkilmiş toxunana həmin nöqtədə perpendikulyar olan düzxəttə əyrinin normalı deyilir. Həmin normalın tənliyi
(4)
şəklində yazılar.
►Törəmənin mexaniki mənasının tərifi. Hər hansı cismin dəyişənsürətli düzxətli hərəkətinə baxsaq, həmin cismin ülçülərini və şəklini nəzərə almayaraq, onun fiziki baximindan maddi nöqtə hesab etmək olar. məlumdur ki, hərəkət edən nöqtənin getdiyi yolu zamandan asılıdır: s = s(t) nöqtənin t zaman əslində getdiyi yol s(t), t+∆t zamanında isə getdiyi yol s(t+∆t) = s(t) + ∆s olarsa, onda baxılan nöqtə ∆t zamanı ərzində ∆s məsafəni getmiş olar. Belə olan halda
v_or = (5)
nisbəti nöqtənin hərəkətinin orta sürətinə bərabər olar. Həmin nisbətdə şərtində limitə keçsək nəticədə alırıq ki,
v(t) = sꞌ(t) (7)
Buradan törəmənin mexaniki mənası alınlır: hərəkət edən nöqtənin sürəti gedilən məsafənin zamana görə törəməsinə bərabərdir.
►Törəmənin iqtisadi mənası. Təbiətdə baş verən istənilən prosesləri öyrənərlən bir-biri ilə bağlı olan kəmiyyətlər arasındakı deyişmə sürətini törəmənin köməyi ilə qiymətləndirmək olar. buna əsasən, törəmə iqtisadiyyatda geniş tətbiq olunur.
Misal. Tutaq ki, eyni adlı məhsulların istehsal xərcləri – u, məhsulun miqdarı – x olsun. Onda, xərcləri miqdarın u = u(x) funksiyası kimi gəbul edə bilərik. Aydındır ki, məhsulun miqdarı ∆x gədər artsa, ona xərclənən qiymət ∆u gədər artar. Belə olan halda - istehsal xərcinin orta artımı olar. Onda orta artımın limiti istehsal xərclərinin limiti adlanır və u ꞌ(x) ilə işarə olunur:
(8)