1. Ikki karrali integralning ta’rifi

1. Ikki karrali integralning ta’rifi.
f (x, y)funksiya biror D sohada aniqlangan bo’lsin. D sohani n ta D_i qismlarga bo’lamiz. Har bir D_i qismda P_i (x_i , y_i ) bittadan nuqta tanlaymiz hamda
n
S_n x_i , y_i ) S_i (1)

yig’indini tuzamiz. (1) yig’indiga f (x, y)funksiya uchun D sohadagi

integral yig’indi deyiladi.  qism sohalar diametrlarining eng kattasi bo’lsin. S_i , D_i sohaning yuzi.
Ta’rif. (1) integral yig’indining, qismlarga bo’linish usuliga, ^P_i nuqtalarning tanlanishiga bog’liq bo’lmagan 0 dagi limiti mavjud bo’lsa, bu limitga f (x, y)funksiyaning D sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va

 f x, yds

D
simvol bilan belgilanadi.
Ikki karrali integral aniq integralning ikki o’zgaruvchili(argumentli) funksiya uchun umumlashgan holidir.
Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq integralning xossalarini takrorlashni tavsiya etamiz.
2. Ikki karrali integralni hisoblash.
Ikki karrali integralni hisoblash ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. D soha y  y₁(x), y  y₂(x) funksiyalar grafklari hamda xa va xb to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan bo’lsin, ya’ni
 axb
_y₁xyy₂x
tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa, ikki karrali integral quyidagicha
hisoblanadi:
by₂x  b y₂x
 f x, yds    f x, ydydx  dx  f x, ydy
D ay₁x  a y₁x
(1)
Oxirgi aniq integral ichki integral deb ataladi va uni hisoblashda x ni o’zgarmas deb, integrallash y bo’yicha olib boriladi. Ichki integralni hisoblash natijasi tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo’ladi.
D soha
 с yd
_x₁yxx₂y
tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa, ikki karrali integral
dx₂y  d x₂y