1. Ikki karrali integralning ta’rifi

 f x, ydxdy    f x, ydxdy  dy  f x, ydx

D s x₁y  s x₁y
formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi.
1-misol. _xln ydxdy integralni D soha: 0 x4, 1 ye to’g’ri
D
to’rtburchak bo’lganda hisoblang.
Yechish. (1) formulaga asosan,

_D xln ydxdy 0_4xdx0_eln ydy 0_4xdxyln yy₁^e  x₂2 048_.
2-misol. x ydxdy integralni D: y 2x², y 2x1, chiziqlar
D
bilan chegaralangan soha bo’lganda hisoblang.
Yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada OY o’qiga simmetrik bo’lgan parabola. Ikkinchisi chiziq to’g’ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz:
y2x²

_y2x1
tenlamalar sistemasini yechib, A(3;7), B(1,1) nuqtalarni topamiz. (1) formulaga asosan,
1 2x²

(x, y)dxdy dx (x y)dy 

D 3 2x1
 ¹3xy  y2^{2 }²2^x^x1² dx  ¹3x(2  x2)  (2  x²)²  x(2x 1)  (2x21)² dx 
2 
 ¹ 2xx3  4  4x² x⁴  2x2 _x_ 4x²  4x1_dx_
1 3 _ 2 2 _

313 12 x4 x3  2x2 x 32_dx
1

 101 x₅  14x₄  23x₃  12x₂  23x3  4
bo’ladi.
3. Ikki karrali integralning tatbiqlari.
1. _ f x, ydxdy integralda f (x, y) 1 bo’lsa, _ dxdyintegral D
D D
figuraning yuzini ifodalaydi, ya’ni

S  dxdy

D
1-misol. x 4yy², xy 6 chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.
Yechish. Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz.
x 4yy², x 6 y dan 4yy²  6 y, y² 5y 6  0,
kesishish nuqtalari
y₁  2, y₂  3; x₁  4, x 3; A(4;2) va B(3;3)
bo’ladi. Shunday qilib, yuza
3 4yy² 3₂ 3 3
S  _dxdy _^dy _ dx _x ₆⁴_^y_y^y dy _4yy² 6ydy _5yy² 6dy
D 2 6y 22 2
_ 52y2  y33 6y3  16 (kv. birlik)
 2
2. Yuqoridan z  f x, y sirt, quyidan z 0 tekislik, yon tomondan to’g’ri silindrik sirt bilan hamda XOY tekislikda D sohani hosil qiladigan silindrik jismning xajmi
V  _ f x, ydxdy integral bilan xisoblanadi.
D
2-misol. y1x², z  3x, y 5,z  0 sirtlar bilan chegaralangan I oktantadagi jismning hajmini hisoblang.
Yechish. Hajmi hisoblanishi kerak bo’lgan jism yuqoridan z 3x tekislik, yondan y1x² parabolik silindr, y  5 tekislik bilan chegaralangan. Shunday kilib
2 5 2   2  x2 x4 2
V  D3xdxdy  30xdx1x2dy  30x 5  (1 x2)dx  304x  x3dx  34 2  4 0 
^
 3_22²  ²4^{4 }_  24 12 12 куб.бир.
_
3. Plastinka har bir nuqtasidagi zichlik funksiyasi x, y bo’lsa, uning massasi

1000.  x, ydxdy

D
integral bilan hisoblanadi.
Plastinkaning OX va OY o’qlarga nisbatan statik momentlari.

M_x  _ yx, ydxdy, M _y  _ xx, ydxdy

D D
formulalar bilan hisoblanadi.
Plastinka birjinsli, ya’ni  cosnt bo’lganda uning og’irlik markazining koordinatalari
xc  M х   xdxdy yc  Mx  D ydxdy
S S S S formulalar yordamida topiladi, bu yerda S , D sohaning yuzi.
Plastinkaning OX va OU o’qlariga nisbatan inertsiya momentlari J_x  _ y²x, ydxdy, J_y  _x²x, ydxdy
D D
formulalar bilan, koordinatlar boshiga nisbatan inertsiya momenti

J₀  _x²  y²x, ydxdy  J_x  J_y

D
formula bilan aniqlanadi. Yuqoridagi formulalarda (x, y) 1 deb tekis
figuralarning geometrik inertsiya momentlarini topish formulalarini olamiz.
3-misol. y²  4x 4, y² 2x 4 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning og’irlik markazining koordinatlarini toping.
Yechish. Chiziqlar OX o’qiga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun y_с  0 x_c ni topamiz:
4y²
2 2 24 y2 y2 4 2 3y2 

S  dxdy2dy  dy 2 2  4 dy 203 4 dy 
D 0 y24 0

4 6y12y302  2128 8 6

4 y 24
2 2 2 xdxdy  y2 y2 4 12
xc  18xdxdy 8120dyy24 180 4  16 dy  803 32y2 16 3 y4dy 
L
4
1 y³ 3y⁵ ² 2 2

 83y ₂  ₈₀ _₀  ₅. Demak C( ₅;0).
_
Adabiyotlar ro’yxati:

1. 
   Сlaudio Сanuto, Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer, I-part, 2008, II-part, 2010.
   
2. 
   W. WL.Chen “Linear algebra ”, London, Chapter 1-12, 1983, 2008.
   
3. 
   W.WL.Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004, 2013.
   
4. 
   W.WL.Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-10, 1983, 2008.
   
5. 
   Soatov Yo U. Oliy matematika. Т., O’qituvhi, 1995. 1- 5 qismlar.
   
6. 
   Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, - Тoishkent, O’qituvhi, 1-qism, 1989.
   
7. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Рады. Функции комплексного переменного. - Наука, 1997.
   
8. 
   V.Ye.Shneyder, А.I.Slutskiy, А.S.Shumov. Qisqaha oliy matematika kursi. Т., 1985., 2-qism.
   
9. 
   Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.
   
10. 
    Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1983.
    

"Экономика и социум" №2(93)-1 2022 www.iupr.ru