f x, ydxdy f x, ydxdy dy f x, ydx
D s x1y s x1y
formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi.
1-misol. xln ydxdyintegralni D soha: 0 x4, 1 ye to’g’ri
D to’rtburchak bo’lganda hisoblang.
Yechish. (1) formulaga asosan,
D xln ydxdy 04xdx0eln ydy 04xdxyln yy1e x22 048. 2-misol. x ydxdy integralni D: y 2x2, y 2x1, chiziqlar
D bilan chegaralangan soha bo’lganda hisoblang.
Yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada OY o’qiga simmetrik bo’lgan parabola. Ikkinchisi chiziq to’g’ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz:
y2x2
y2x1
tenlamalar sistemasini yechib, A(3;7), B(1,1) nuqtalarni topamiz. (1) formulaga asosan,
1 2x2
101 x5 14x4 23x3 12x2 23x3 4
bo’ladi.
3. Ikki karrali integralning tatbiqlari. 1. f x, ydxdy integralda f (x, y) 1 bo’lsa, dxdyintegral D D D figuraning yuzini ifodalaydi, ya’ni
S dxdy
D 1-misol. x 4yy2, xy 6 chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.
Yechish. Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz.
x 4yy2, x 6 y dan 4yy2 6 y, y2 5y 6 0,
kesishish nuqtalari
y1 2, y2 3; x1 4, x 3; A(4;2) va B(3;3)
bo’ladi. Shunday qilib, yuza
3 4yy2 32 3 3
S dxdy dy dx x 64yyy dy 4yy2 6ydy 5yy2 6dy
D 2 6y 22 2
52y2 y33 6y3 16 (kv. birlik)
2
2. Yuqoridan z f x, y sirt, quyidan z 0 tekislik, yon tomondan to’g’ri silindrik sirt bilan hamda XOYtekislikda D sohani hosil qiladigan silindrikjismning xajmi V f x, ydxdy integral bilan xisoblanadi.
D 2-misol. y1x2, z 3x, y 5,z 0 sirtlar bilan chegaralangan I oktantadagi jismning hajmini hisoblang.
Yechish. Hajmi hisoblanishi kerak bo’lgan jism yuqoridan z 3x tekislik, yondan y1x2parabolik silindr, y 5 tekislik bilan chegaralangan. Shunday kilib
2 5 2 2 x2 x4 2
V D3xdxdy 30xdx1x2dy 30x 5 (1 x2)dx 304x x3dx 34 2 4 0
3222 244 24 12 12 куб.бир.
3. Plastinka har bir nuqtasidagi zichlik funksiyasi x, y bo’lsa, uning massasi
x, ydxdy
D integral bilan hisoblanadi.
Plastinkaning OX va OY o’qlarga nisbatan statik momentlari.
Mx yx, ydxdy, M y xx, ydxdy
D D formulalar bilan hisoblanadi.
Plastinka birjinsli, ya’ni cosnt bo’lganda uning og’irlik markaziningkoordinatalari xc M х xdxdy yc Mx D ydxdy S S S S formulalar yordamida topiladi, bu yerda S , D sohaning yuzi.
Plastinkaning OX va OU o’qlariga nisbatan inertsiya momentlari Jx y2x, ydxdy, Jy x2x, ydxdy D D formulalar bilan, koordinatlar boshiga nisbatan inertsiya momenti
J0 x2 y2x, ydxdy Jx Jy
D formula bilan aniqlanadi. Yuqoridagi formulalarda (x, y) 1 deb tekis
figuralarning geometrik inertsiya momentlarini topish formulalarini olamiz.
3-misol. y2 4x 4, y2 2x 4 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning og’irlik markazining koordinatlarini toping.
Yechish. Chiziqlar OX o’qiga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun yс 0 xc ni topamiz:
4y2 2 2 24 y2 y2 4 2 3y2
S dxdy2dy dy 2 2 4 dy 203 4 dy
D 0 y24 0