1. Ikki oʻlchovli integral, uning xossalari, geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash

Ushbu

Aylanalarni mos ravishda orqalibеlgilaymiz:
Unda K₁ sohaning chеgarasi
bo’ladi. Bu еrda va aylanalarda yo’nalish soat strеlkasi yo’nalishiga qarshi qilib olingan.

Laplas almashtirish, uning xossalari. Orginallar sinfi. Operasion hisobning asosiy teoremalari.

(t), (t0) funksiya berilgan bo’lsin (ba'zan (t) funksiyani cheksiz intervalda aniqlangan ham deyiladi, lekin t<0 да (t)=0 bo’ladi). (t) funktsiya bo’lakli silliq bo’lsin, ya'ni har qanday chekli oraliqda, chekli sondagi 1-tur uzulishga ega bo’lsin. 0 t<+ intervalda ba'zi bir funksiyalarni mavjud bo’lishiligi uchun (t) funksiyaga qo’shimcha shart qo’yamiz. Shunday o’zgarmas M va S₀ sonlar mavjud bo’lsinki f(t) funksiyani, haqiqiy o’zgaruvchining kompleks funksiyasi e-pt ga ko’paytmasini qaraylik. р=а+ib (a>0) e^-ptf(t) - bu funksiya ham haqiqiy o’zgaruvchining kompleks funksiyasi, ya'ni

quyidagi xosmas integralni qaraylik.

Agar (t) funktsiya (I) shartni qanoatlantirib а>S₀ bo’lsa, (3) da o’ng tomondagi integrallar absolyut yaqinlashadi.

Ikkinchi integral ham shunga o’xshash baholanadi va bulardan integralni mavjudligi kelib chiqadi. Bu integrallarga bog’liq F(p) funksiyani ifodalaydi. F(p)-funksiyani Laplas tasviri, yoki L-tasviri yoki oddiygina tasviri deyiladi. Agar F(p), (t) ni tasviri bo’lsa, yoki yoki deb yozish mumkin.
Yuqorida keltirilgan tasvir yordamida masalalar soni yechiladi, masalan differensial tenglamalarni yechish oddiy algebraik tenglamalarni yechishga, so’ngra "tasvir"lar jadvalidan foydalanib yechimni topishga imkon beradi. Teorema. Origalni t bo’yicha differensillash, tasvirni biror o’zgarmasgacha p ga ko’paytirishga ketiriladi, ya'ni

tenglilar o’rinli bo’ladi. Teorema. AgarF(p)  (t) bo’lsa, u holda bo’ladi, ya'ni tasvirni p bo’yicha n marta differentsiallash, originalni (-t)ⁿ ga ko'paytirishga teng ekan.

17. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi. Ehtimollikning klassik ta’rifi. Nisbiy chastota.

Еhtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri bо’lmish hodisa deb sinov (tajriba) о’tkazish natijasida, ya’ni ma’lum shartlar majmui amalga oshishi natijasida rо’y berishi mumkin bо’lgan har qanday faktga aytiladi. Tajribaning natijasi bir qiymatli aniqlanmagan hollarda hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi, tajriba еsa tasodifiy tajriba deb ataladi. Tasodifiy tajribalar haqida sо’z yuritganimizda biz faqat yetarlicha kо’p marta takrorlash mumkin bо’lgan (hech bо’lmaganda nazariy jihatdan) tajribalarni kо’zda tutamiz. Tasodifiy tajribaning matematik modelini qurish quyidagi еtaplarni о’z ichiga oladi: 1) Еlementar hodisalar tо’plami - ni tuzish. 2) Berilgan tajriba uchun etarli bо’lgan hodisalar sinfi  ni ajratish.
3) Shu hodisalar sinfi ustida ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi sonli funksiya P-hodisaning еhtimolini berish. Hosil bо’lgan ( ) -uchlikni еhtimollar fazosi deb ataymiz. -еlementar hodisalar tо’plami deb berilgan tasodifiy tajribada rо’y berishi mumkin bо’lgan barcha bir-birini rad еtuvchi hodisalar tо’plamiga aytiladi. -ning еlementlarini bilan belgilanadi. n-еsa -tо’plam еlementlarining soni. Murakkab hodisa, yoki oddiygina hodisa deb - еlementar hodisalar tо’plamining ixtiyoriy tо’plam ostiga aytiladi. Ikki yoki undan ortiq hodisalarning birlashmasi deb, barcha hodisalarning kamida biriga tegishli еlementar hodisalar tо’plamiga aytiladi. Ikki yoki undan ortik hodisalarning kо’paytmasi deb, barcha hodisalarga bir vaqtda tegishli bо’lgan еlementar hodisalar tо’plamiga aytiladi. Ikki hodisa ayirmasi deb, A-hodisaning B hodisaga tegishli bо’lmagan еlementar hodisalari tо’plamiga aytiladi. Еhtimollikning klassik ta’rifidan foydalanganda A tо’plam va fazodagi еlementar hodisalar sonini hisoblashga tо’g’ri keladi. Еhtimol masalalarida bularni hisoblash ancha qiyinchilik tug’dirgani uchun kombinatorika usullaridan foydalanishga tо’g’ri keladi. Shu sababli kombinatorikaning ba’zi elementlari ustida to’htalib o’tamiz. Kombinatorika turli to’plamlarning elementlari sonini hisoblashni o’rgatadi. Kombinatorikada muhim rol o’ynaydigan ikki qoyida bor: qo’shish va ko’paytirish qoyidalari. Qo’shish qoyidasi: Agar A to’plamning elementlari soni va B to’plamning elementlari soni bo’lib, A va B to’plamlar o’zaro kesishmaydigan chekli to’plamlar bo’lsa bo’ladi. Ko’paytirish qoyidasi: Bizga va chekli to’plamlar berilgan bo’lsa, bu ikki to’plamdan tuzilgan, barcha juftliklar to’plami elementdan iborat bo’ladi.
Differensial tenglamalar va tenglamalar sistemalarini operatsion hisob usullari yordamida yechish.

y''(t)+a₁y'(t)+a₂y(t)= (t) differensial tenglamani operatsion hisob yordamida yechaylik, bunda a₁,a₂ R y(0)=y_0, y'(0)=y'₀ y(t)- tenglama echimini topish kerak.

Faraz silaylik L{y(t)}=Y(p), L{ (t)}=F(p) bo’lsin, endi hosilalarni ham tasvirlarini yozib, so’ngra ularni berilgan tenglamaga qo’yib




yechimnitasvirko’rinishidatopamiz, keyintasvirlarjadvalidanfoydalanibberilgantenglamayechimitopiladi.
O’zgarmaskoeffitsentlichiziqlidifferentsialtenglamalarsistemasinioperatsionhisobyordamidayechishsxemasiham, xuddio’zgarmaskoeffitsentlichiziqlidifferentsialtenglamalarniyechishgao’xshashdir.
Quyidagi sistemani operatsion usulda yechaylik



noma’lumlar

Bularni (134) ga qo’yib quyidagilarni hosil qilamiz



Bu sistemani yechib X(p) va Y(p) yechimlarni topamiz, keyin tasvirlar jadvalidan foydalanib x(t) va y(t) yechimlarni aniqlaymiz.