1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

Bu yerda φ orqali l yo‘nalishni ifodalovchi e birlik vektor bilan gradient vektor orasidagi burchak ifodalangan. Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, φ=0 bo‘lganda yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan nuqtada o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Demak, berilgan nuqtada z=f(x,y) funksiyaning turli l yo‘nalishlar bo‘yicha hosilasi (o‘zgarish tezligi) bu yo‘nalish gradient bilan ustma-ust tushganda eng katta qiymatiga erishadi va bu qiymat gradient moduliga teng bo‘ladi. Gradient , majoziy qilib aytganda, tog‘ cho‘qqisida olib chiqadigan eng tikka yo‘nalishni ifodalaydi.

Bu yerda φ orqali l yo‘nalishni ifodalovchi e birlik vektor bilan gradient vektor orasidagi burchak ifodalangan. Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, φ=0 bo‘lganda yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan nuqtada o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Demak, berilgan nuqtada z=f(x,y) funksiyaning turli l yo‘nalishlar bo‘yicha hosilasi (o‘zgarish tezligi) bu yo‘nalish gradient bilan ustma-ust tushganda eng katta qiymatiga erishadi va bu qiymat gradient moduliga teng bo‘ladi. Gradient , majoziy qilib aytganda, tog‘ cho‘qqisida olib chiqadigan eng tikka yo‘nalishni ifodalaydi.

Masalan,yuqorida ko‘rilgan f(x,y)=x2–y2 funksiyaning M(x,y) nuqtadagi gradienti gradf={2x, –2y} bo‘ladi. Xususan, M(1,1) nuqtada gradf={2, –2} va bu nuqtadagi funksiyaning eng katta o‘zgarish tezligi | gradf |=

bo‘ladi.
3.Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari.
Oldin z=f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasidagi biror M(x,y) nuqtadagi to‘la
orttirmasini eslaymiz (§1, (3) ga qarang):
z=f = f (x +x , y + y )– f (x , y) .

4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning berilgan M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasi