1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

df=(2x+y)x+(x+3)y.

Ammo funksiyani differensiallanuvchi ekanligini har doim ham uning ta’rifi asosida tekshirish oson bo‘lmaydi. Shu sababli bu savolga umumiy holda javob topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala quyidagi teoremada o‘z yechimini topadi.

2-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiyaning
xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz
bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali
(7)
formula bilan aniqlanadi.
Isbot: z=f(x,y) funksiyaning M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
f =f(x+x, y+y)–f(x, y)=[f(x+x, y+y)–f(x, y+y)]+[f(x, y+y)–f(x, y)] .(8)
Bu yerda kvadrat qavs ichidagi ayirmalar bir o‘zgaruvchili funksiyaning orttirmalarini ifodalaydi. I qavsdagi bir o‘zgaruvchili funksiya f(x,y+y) ko‘rinishda bo‘lib, uning argumenti [x, x+x] kesmada o‘zgaradi. Teorema shartiga ko‘ra f(x,y+y) funksiya bu kesmada
hosilaga ega. Unda I qavsdagi orttirmaga Lagranj teoremasini
(9)
(10)
(VIII bob, §3) qo‘llash mumkin:
Xuddi shunday tarzda
tеnglikni hosil qilamiz. Teorema shartiga ko‘ra xususiy hosilalar uzluksiz va
bo‘lgani uchun
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan, limit xossasiga asosan (VII bob, §3, lemmaga qarang), quyidagi tengliklar kelib chiqadi:
Bu yerda γ1 vа γ2 x→0, y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.
Endi (8) tenglikka dastlab (9)-(10), so‘ngra ular o‘rniga (11) tengliklarni qo‘yib, funksiyaning to‘la orttirmasini ushbu ko‘rinishga keltiramiz:
(12)
(11)
Bu yerdan, (12) natijani (5) tenglik bilan taqqoslab, z=f(x,y) funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali uchun (7) formula o‘rinli ekanligini ko‘ramiz. Teorema to‘la isbotlandi.
Masalan, yuqorida ko‘rib o‘tilgan f(x,y)=x2+xy+3y funksiyaning differensialini endi (7) formula bo‘yicha topamiz:
.
Bu oldin olingan natijani ifodalaydi, ammo unga ancha oson erishildi.
Endi xususiy f(x,y)=x holda funksiya differensialini (7) formula orqali topamiz:
Xuddi shunday ravishda f(x,y)=y holda dy=∆y ekanligini ko‘ramiz. Shu sababli funksiya differensiali uchun (7) formulani ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi qo‘shiluvchilar z=f(x,y) funksiyaning mos ravishda x va y bo‘yicha xususiy differensiallari deyiladi va dx f , dy f kabi belgilanadi. Bu holda df to‘la differensial deb yuritiladi.
Izoh: Bir o‘zgaruvchili y=f(x) funksiya M(x) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada faqat f ′(x) hosilasi mavjudligi talab qilinib, uning uzluksizligi talab etilmas edi. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun esa uning xususiy hosilalarini mavjudligi differensiallanuvchi bo‘lishi uchun yetarli emas.
Masalan,
funksiya uchun f(x,0)=0 va f(0,y)=0 bo‘lgani uchun O(0,0) nuqtada uning xususiy hosilalari mavjud va
(13)
Ammo O(0,0) nuqtada bu funksiya to‘la orttirmasini (5) ko‘rinishda yozib bo‘lmaydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ∆x≠0, ∆y≠0 uchun ∆f=f(0+∆x, 0+∆y)–f(0,0)=1–0=1, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor emas. Demak, O(0,0) nuqtada bu funksiyaning xususiy hosilalari mavjud, ammo differensiallanuvchi emas.
5-TA’RIF: Fazodagi S sirtda yotuvchi va uning M0(x0, y0, z0) nuqtasidan o‘tuvchi barcha egri chiziqlarining shu nuqtadagi barcha urinmalaridan hosil bo‘lgan P tekislik S sirtning M0(x0, y0, z0) nuqtasidagi urinma tekisligi deb ataladi.
3-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiyaning grafigi S sirtdan iborat bo‘lsa, bu sirtning biror M0(x0, y0, z0)= M0(x0, y0, f(x0, y0)) nuqtasida urinma P tekislik mavjud bo‘lishi uchun funksiya shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi zarur va yetarli.
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Bunda df to‘la differensial S sirtning M0(x0, y0, z0) nuqtadagi urinma tekisligi applikatasining orttirmasiga teng bo‘ladi va bu tasdiq to‘la differensialning geometrik ma’nosini ifodalaydi. Bu holda S sirtning M0(x0, y0, z0) nuqtasiga o‘tkazilgan P urinma tekislik tenglamasi
ko’rinishda bo’lishini keltirib chiqarish mumkin.
(14)
Masalan, z=f(x,y)=x2–2xy+y2–x+2y funksiya bilan aniqlangan S sirtning M(1,1,1) nuqtasiga o‘tkazilgan urinma tekislik tenglamasini topamiz. Bunda xususiy hosilalar mavjud, uzluksiz va
f(1,1)=1 bo‘lgani uchun, (14) tenglikka asosan izlangan urinma tekislik tenglamasi
z–1=–(x–1)+2(y–1) => x–2y+z=0
ekanligini aniqlaymiz.
(5) tenglikdan ko‘rinadiki, agar z=f(x,y) funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, unda u bu nuqtada uzluksiz bo‘ladi. Haqiqatan ham, bu holda
va, ta’rifga asosan, funksiya M(x,y) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
,
Ammo teskari tasdiq umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni funksiyani biror M(x,y) nuqtada uzluksiz ekanligidan uni bu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi kelib chiqmaydi.
Masalan, f(x,y)=|x|(y+1) funksiyani O(0,0) nuqtada qaraymiz. Bu nuqtada uning to‘la orttirmasini uchun
tenglik o‘rinli ekanligidan funksiyani uzluksizligi kelib chiqadi. Endi bu nuqtada funksiyaning x bo‘yicha xususiy orttirmasini qaraymiz:
Bu yerdan ko‘rinadiki, O(0,0) nuqtada funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi mavjud emas, chunki ∆x→0 bo‘lganda |∆x|/∆x nisbatning limiti mavjud emas. Demak, O(0,0) nuqtada funksiya uzluksiz, ammo differensiallanuvchi emas.
Yuqorida isbotlangan 2-teoremadan ushbu natija kelib chiqadi.
NATIJA: Agar z=f(x,y) funksiyaning
xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Haqiqatan ham bu shartlarda funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va shu sababli uzluksiz bo‘ladi.
Endi to‘la differensialning tatbig‘iga doir bir masalani qaraymiz. Buning uchun yuqoridagi (12) tenglikda z=f(x,y) funksiyaning x va y argument orttirmalari kichik sonlardan iborat deb olamiz. Bu holda bu tenglikda γ1x+γ2y qo‘shiluvchi ham kichik son bo‘ladi. Shu sababli (12) tenglikda bu qo‘shiluvchini hisobga olmasak, undan quyidagi taqribiy tengliklar kelib chiqadi:
.
(15)
Bu formuladan foydalanib, z=f(x,y) funksiyaning hisoblash uchun “noqulay” bo‘lgan N(x+x, y+y) nuqtadagi qiymati uning hisoblash uchun “qulay” bo‘lgan M(x,y) nuqtadagi qiymati yordamida taqriban topilishi mumkin.
Misol sifatida
funksiyaning N(2.98, 4.03) nuqtadagi qiymatini,
ildizni taqribiy qiymatini topamiz. Bunda “qulay” nuqta M(3,4) bo‘ladi, chunki unda funksiyaning qiymati oson hisoblanadi va f(3,4)=5 bo‘ladi. Bu holda ∆x=2.98–3=–0.02, ∆y=4.03–4= 0.03 va
ya’ni
Bu natijalarni (15) taqribiy formulaga qo‘yib,
ekanligini topamiz. Bu ildizning uch xona aniqlikdagi qiymati 5.012 ekanligidan olingan taqribiy natijaning aniqligi haqida tasavvur hosil qilishimiz mumkin.