1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

2. Ba’zi sodda funksiyalarning tasvirlari.

1. 
   Quyidagicha aniqlangan ₀(t)
   

₀(t) =
funksiyaga birlik funksiya yoki Xevisayda funksiyasi deyiladi.
Bu funksiyaning grafigi quyidagicha

₀(t)

1
0 t

Xevisayda funksiyasining tasviri (1) ga ko’ra quyidagicha aniqlanadi:

F(t)= e^-ptf(t)dt = e^-pt₀(t)dt= e^-pt1dt=-e^-pt =-0+ = .
Shunday qilib ₀(t)  1/p yoki 1  1/p (2)
2. f(t)=sint funksiya tasviri ham (1) ga ko’ra aniqlanadi:
Shunday qilib sint  (3)
3. f(t)=cost funksiya tasvirini topamiz:

Demak cost funksiyani tasviri yoki cost  (4)
3. Laplas tasvirining ba’zi xossalari.

1. 
   Chiziqlilik xossasi. Agar F_k(t)  f_k(t) (k=1,2,3,...,n) bo’lib, s_k lar o’zgarmaslar bo’lsa , u holda c_kF_k(t)  c_kf_k(t) munosabat o’rinli bo’ladi.
   

2. O’xshashlik teoremasi. Agar a>0 va F(t) f(t) bo’lsa , u holda F( )  f(at) bo’ladi.
3. Originalning kechikish teoremasi. Agar >0 bo’lsa, u holda F(t)  f(t) dan f(t-)  e^-tF(t) kelib chiqadi.
4. Tasvirning sinish teoremasi. Agar F(t)  f(t) bo’lsa, u holda istalgan  uchun e^-tf(t)  F(t+) kelib chiqadi.
5. Originalni differensiallash. Agar f(t) funksiya [0,] da uzluksiz, differensiallanuvchi va f (t) hosila tasvir mavjudligining 1,2,3 shartlarini qanoatlantirib, F(t)  f(t) bo’lsa, quyidagilar o’rinli bo’ladi.
a) pF(p)-f(0)  f (t) Xususiy holda f(0)=0 bo’lsa pF(p)  f (t) bo’ladi.

2. 
   Agar fⁿ(t) mavjud bo’lsa va tasvir mavjudligining shartlarini qanoatlantirsa
   

f⁽ⁿ⁾(t)  tⁿF(t)-[ t^n-1f(0)+ t^n-2f(0)+ t^n-3f(0) +...+ tf^(n-2)(0)+f^(n-1)(0) ],
agar f(0)=f (0)=...=f^(n-1)(0)=0 bo’lsa, f⁽ⁿ⁾(t) tⁿF(t) bo’ladi.
6. Originalni integrallash. Agar F(p)  f (t) bo’lsa,
f(t)dt ning tasviri f(t)dt  bo’ladi.
7. Tasvirni integrallash. Agar F(p)  f (t) bo’lsa, F(t)dt  bo’ladi.
8. Tasvirni differensiallash. Agar F(p)  f (t) bo’lsa , u holda

1. 
   F(p)  -tf(t) ; b) F⁽ⁿ⁾(p)  (-1)ⁿtⁿf(t) bo’ladi.
   

Misol. f(t)=sinat funksiya tasvirini topamiz: F(p)= sinate^-ptdt=1/a1/[(p/a)²+1] =a/(p²+a²) Demak sinata/(p²+a²) (5)
Shunga o’hshash f(t)=cosat funksiyani tasviri quyidagicha bo’ladi: cosatp/(p²+a²) (6)
Misol. f(t)=3sin4t-2cos5t funksiya tasviri topilsin.
Yechish: (5) va (6) dan Lf(t)=34/(p²+16)-2p/(p²+25)=12/(p²+16)-2p/(p²+25).
Misol. F(t)=5/(t²+4)+20t/(t²+9) tasvir funksiya berilganda boshlangich funksiyani toping.
Yechish: F(t)=5/22/(p²+4)+20p/(p²+9) 5/2sin2t+20cos3t=f(t)
Demak f(t)=5/2sin2t+20cos3t.