1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Funksiyalarni chiziqli bog’liqligi va erkliligi.
TA’RIF. Agar [a,b] intervalda

ayniyat _i – o’zgarmas sonlarni kamida bittasi noldan farqli bo’lganda bajarilsa , u holda y₁,y₂,…,y_n funksiyalar chiziqli bog’liq deyiladi , agar ayniyat faqat _i=0 (i=1,2,…,n) bo’lganda bajarilsa y₁,y₂,…,y_n funksiyalar chiziqli erkli deyiladi.
MISOL:
tenglik faqat ₁=0 ₂=0 bo’lganda bajarilishini ko’rish mumkin. SHuning uchun bu funksiyalar chiziqli erkli.
TA’RIF: n – tartibli chiziqli tenglamani n – ta chiziqli erkli yechimlari shu tenglamaning fundamental yechimlari sistemasi deb ataladi.
SHu o’rinda ushbu teorema o’rinli.
TEOREMA 1. Koeffitsientlari [a,b] intervalda uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy bir jinsli chiziqli tenglama fundamental yechimlar sistemasiga ega.
VRONSKIY DETERMINANTI
Quyidagi ko’rinishdagi determinantga Vronskiy determinanti deyiladi:

Bu determinant uchun ushbu teoremalar o’rinli.
TEOREMA 2: Agar funksiyalar biror I intervalda chiziqli bog’liq bo’lsa, shu intervalda W(x)0 tenglik o’rinli
ISBOTI: I intervalda kamida bittasi noldan farqli sonlar uchun o’rinli ( y₁,y₂,…,y_n lar chiziqli bog’liq, bo’lganligi uchun)
Bu ayniyatni p-1 marta differensiallaymiz, unda

_i larga nisbatan sistemani olamiz. _i lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lganligi uchun sistema noldan farqli yechimga ega. Demak, algebra kursidan ma’lumki bu sistemani determinanti nolga teng (teorema isbot bo’ladi).
TEOREMA 3. Agar y₁,y₂,…,y_n chiziqli erkli funksiyalar bir jinsli tenglamaning I intervalda aniqlangan yechimlari bo’lsa, u holda mos Vronskiy determinanti biror nuqtada ham nolga teng emas.
Endi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimni haqidagi teoremani keltiramiz.
TEOREMA 4: Agar y₁,y₂,…,y_n funksiyalar L[y]=0 tenglamani fundamental yechimlari sistemasi bo’lsa, bu tenglamaning umumiy yechimi
(4)
formula bilan aniqlanadi.
ISBOT: Teoremani isbotlash uchun ixtiyoriy
(5)
shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechim (2) formuladan kelib chiqishini ko’rsatamiz. (5)ni
ko’rinishda belgilaymiz va (4) ga qo’yamiz:

Buni yoyib chiqsak tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Uning determinanti Vronskiy determinanti bo’lib, y₁,y₂,…,y_n lar chiziqli erkli yechim bo’lganligi uchun noldan farqli (3-teoremaga ko’ra). U holda sistema a_i ixtiyoriy x₀I uchun c_i larga nisbatan yagona yechimga ega, ya’ni bu sistemadan c_i larni aniq qiymatini topish mumkin. Uni (4) qo’ysak xususiy yechimi hosil bo’ladi. Teorema isbotlandi.
n – nchi tartibli tenglamani xususiy holi sifatida n= 2 bo’lganda
(6)
tenglamani qaraylik. Bu tenglamani bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uni umumiy yechimi
(7)
ko’rinishida ifodalanadi. (7) ko’rinishidagi formula Ostrogradskiy-Liuvill’ formulasi deb ataladi.
(7)ni yoyib yozsak
bo’lib, uni ga bo’lsak,
chap tomoni bo’linmani Hosila si formulasini ifodalaydi, unda
tenglikka ega bo’lamiz.
Buni integrallasak,

yoki

ekanligi kelib chiqadi . Bu (6) ning umumiy yechimini ifodalaydi.