1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

11-MA’RUZA:
Differensial tenglamalarni analitik va taqribiy yechish usullari(matematik paketlar yordamida)

Oddiy differensial tenglama Eyler usulida yechish.

Differensial tenglamalar ikkita asosiy sinfga, ya’ni oddiy differensial va xususiy hosilali differensial tenglamalar.
Oddiy differensial tenglamalarda faqat bir o’zgaruvchiga bog’liq funksiya va uning hosilalari qatnashadi, ya’ni
(1)
Qo’shimcha shartlar berilishiga ko’ra differensial tenglamalar uchun 2 xil masala qo’yiladi:

1. 
   Koshi masalasi.
   
2. 
   CHegaraviy masala.
   

Agar qo’shimcha shartlar bitta nuqtada berilsa, differensial tenglamani yechish uchun qo’yilgan masala Koshi masalasi deyiladi. Koshi masalasidagi qo’shimcha shartlar boshlang’ich shartlar, nuqta esa boshlang’ich nuqta deb ataladi. Oddiy differensial tenglamalarni yechishning chizma, analitik, taqribiy va sonli yechish usullari mavjud.
Analitik usullarda differensial tenglamaning yechimlari aniq formulalar orqali aniqlanadi.
Taqribiy usullarda differensial tenglama va qo’shimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonroq masalaga keltiriladi.
Sonli usullarda esa yechim analitik shaklda emas, balki sonlar jadvali ko’rinishida olinadi. Albatta bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Natijada sonli usullar vositasida olingan yechim ham taqribiy bo’ladi.
Umuman olganda, oddiy differensial tenglamalarning yechimlarini analitik usul yordamida topish imkoni juda kam bo’lganligi uchun, amalda ko’pincha ularni sonli usullar yordamida taqribiy hisoblanadi.
Eyler usuli
Bizga quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama (Koshi masalasi) ni
(2)
oraliqdagi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bo’lsin.
Koshi masalasini Eyler usuli yordamida yechish uchun, dastlab differensial tenglamaning yechimi qidiriladigan kesmani tugun nuqtalar bilan bo’laklarga bo’lamiz. Tugun nuqtalarning koordinatalari formula orqali aniqlanadi. Har bir tugunda echimning qiymatlarini chekli ayirmalar yordamida taqribiy qiymatlar bilan almashtiriladi.
Ma’lumki, funksiyaning nuqta atrofidagi Teylor qatoriga yoyilmasini quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu cheksiz qatorning boshidagi ikkita had bilan chegaralanib, birinchi tartibli hosila qatnashgan hadni aniqlash natijasida quyidagi chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:
(3)
(2) va (3) dan ekanini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:
(4)
Hosil qilingan (4) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bo’lib, uning yordamida tugun nuqtalarga mos bo’lgan differensial tenglamaning xususiy yechimlarini topish mumkin. Yuqoridagi formuladan ko’rinib turibdiki, yechimni topish uchun yechimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir qadamli usullar jumlasiga kiradi.
Masalan: quyidagi differensial tenglama boshlang’ich shart

asosida Eyler usulida oraliqdagi sonli yechimini topamiz.
Buning uchun quyidagi ketma – ketlikni bajaramiz.
1. oraliqni 10 ta bo’lakka bo’lamiz:

2. Quyidagi formula yordamida funksiyaning qiymatlarini topamiz.


3.Berilgan diffetentsial tenglamaning yechimi: