1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

x erkli o’zgaruvchini oshkor holda o’z ichiga olmagan

(3.1)
ko’rinishdagi tenglama.
Bu tenglamani yechish uchun yana
(3.2)
deb olamiz. Ammo endi R ni oldingidek x ning funksiyasi emas, balki u ning funksiyasi deb hisoblaymiz.
Bu holda

va hosilalarning ifodalarini (3.1) tenglamaga qo’yib, yordamchi R funksiyaga nisbatan birinchi tartibli
(3.3)
tenglama hosil qilamiz. Buni integrallab R ni u va ixtiyoriy s₁ o’zgarmas miqdorning funksiyasi kabi aniqlaymiz.

Bu qiymatni (3.2) munosabatga qo’ysak, x ning u funksiyasi uchun birinchi tartibli:

differentsial tenglama hosil bo’ladi. O’zgaruvchilarni ajiratamiz:

bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning

umumiy integralni topamiz.
Ostragradskiy-Liuvill formulasi

tenglamaning hususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uni umumiy yechimini

ko’rinishdagi Ostragradskiy-Liuvill formulasi yordamida topish mumkin.
Misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping:
.
Yechish. Ostragradskiy-Liuvill formulasiga asosan
yoki
hosil bo’ladi.
Agar

va ekanligini inobatga olsak, ushbu tenglamani olamiz
.
Bu tenglamadan ni topish uchun uni xar ikkala tomonini ga bo’lib yuborsak,
yoki
tenglama hosil bo’ladi.
So’ngi tenglikni integrallash natijasida

ifodaga ega bo’lamiz. ekanligini eotiborga olib, umumiy yechimni

ko’rinishda yozamiz.
Tekshirish uchun savollar.
1.Ikkinchi tartibli differentsial tenglamaning ta’rifini keltiring.
2.Ikkinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy ko’rinishini ayting.
3.Xarakteristik tenglama xaqida tushuncha va uchta xoli.
4.O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinslimas chiziqli tenglamalarning yechish sxemasini keltiring.
5.Birinchi tartibli tenglamalarga keltiriladigan ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarning tiplarini keltiring.
6. y=c₁e^3x +c₂e^-3x funksiyani y”-9y=0 tenglamaning umumiy yechimi ekanini ko’rsating.
7. y”+5y’+6y=0 tenglamani yeching.