1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Taribiy yechimni aniq yechim bilan solishtirish jadvali.

T.r	Argument x ning qiymati	Aniq yechim	Eyler usulida topilgan yechim	Taqribiy yechim topishdagi xatolik
1	0.1	1.1103	1.1000	0.0103
2	0.2	1.2428	1.2200	0.0228
3	0.3	1.3997	1.3620	0.0377
4	0.4	1.5836	1.5282	0.0554
5	0.5	1.7974	1.7210	0.0764
6	0.6	2.0442	1.9431	0.1011
7	0.7	2.3275	2.1974	0.1301
8	0.8	2.6511	2.4872	0.1639
9	0.9	3.0192	2.8159	0.2033
10	1.0	3.4366	3.1875	0.2491

Oddiy differensial tenglama Runge - Kutta usulida yechish.

Eyler usulida differensial tenglamaning yechimini topganda qadam qancha kichik bo’lsa yechimni shuncha aniqlik topish mumkin. Qadam kichik bo’lganda hisoblash ko’p bo’lishi natijasida shuncha xatoliklar paydo bo’ladi. Masalaning yuqori aniqlikda yechimini beradigan bir qadamli oshkor usullarning boshqa bir necha xillari ham majud. Ularning ichida amalda eng ko’p ishdlatiladigani Runge-Kutta usuli hisoblanadi. Usul shartiga ko’ra har bir yangi tugun nuqtadagi yechimni topish uchun funksiyani 4 marta har xil argumentlar uchun hisoblash kerak.
Birinchi tartibli differensial tenglama (Koshi masalasi) ni
(1)
oraliqdagi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bo’lsin.
Usulning ishchi formulasi quyidagicha yoziladi:

bu yerda ;


Masalan: Quyidagi differensial tenglama boshlang’ich shart
asosida Runge - Kutta usulida oraliqdagi sonli yechimini topamiz.
Buning uchun quyidagi ketma – ketlikni bajaramiz.
1. oraliqni 10 ta bo’lakka bo’lamiz:

1 -qadam: aniqlaymiz.


2 -qadam: aniqlaymiz.
4.
3 -qadam: aniqlaymiz.

4 -qadam: aniqlaymiz.

5 -qadam: aniqlaymiz.

6 -qadam: aniqlaymiz.

7 -qadam: aniqlaymiz.

8 -qadam: aniqlaymiz.

9-qadam: aniqlaymiz.

10-qadam: aniqlaymiz.

Taribiy yechimni aniq yechim bilan solishtirish jadvali.

T.r	Argument x ning qiymati	Aniq yechim	Runge - Kutta usulida topilgan yechim	Taqribiy yechim topishdagi xatolik
1	0.1	1.110342	1.110342	0.000000
2	0.2	1.242806	1.242805	0.000000
3	0.3	1.399718	1.399717	0.000001
4	0.4	1.583649	1.583648	0.000001
5	0.5	1.797443	1.797441	0.000001
6	0.6	2.044238	2.044236	0.000002
7	0.7	2.327505	2.327503	0.000002
8	0.8	2.651082	2.651079	0.000003
9	0.9	3.019206	3.019203	0.000003
10	1.0	3.436564	3.436559	0.000004

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasini va yuqori tartibli oddiy differensial tenglama ni Runge - Kutta usulida yechish.

Birinchi tartib oddiy differetentsial tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(1)
boshlangi shartlar
(2)
bu yerda o’zgarmas sonlardir.
(1) differensial tenglamaga qo’yilgan (2) – Koshi masalasini umumiy ko’rinishda quyidagicha yozish mumkin.
(3)
bu yerda vektor o’zgaruvchidir.
Differensial tenglamalar sistemasini Runge – Kutta usulidagi ishchi formulasi quyidagicha yoziladi:
(4)
bu yerda ;


Yuqori tartibli differensial tenglamaberilgan bo’lsin. Masalan:
(5)
Belgilash yo’li bilan berilgan differensial tenglamani oddiy differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin,ya’ni:
(6)
Natijada yuqoridagi (4) formuladan foydalanib,(5) differensial tenglamaniechimini topish mumkin.
Masalan: quyidagi differensial tenglamani yechimini Runge – Kutta usulida topish ko’ramiz.
(7)
boshlang’ich shartni
(8)
oraliqdagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bo’lsin.
Yechish:
belgilash kiritib, ikki nomahlumli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

boshlang’ich shartlar:

Runge – Kuttaning ishchi formulasini yozamiz:



bu yerda




Masalaning yechish ketma – ketligi.
1. ma’lumotlardan foydalinib


2. mahlumotlardan foydalinib



3. mahlumotlardan foydalinib



4. mahlumotlardan foydalinib



5. ma’lumotlardan foydalinib



Taribiy yechimni aniq yechim bilan solishtirish jadvali.

T.r	Argument x ning qiymati	Aniq yechim	Runge - Kutta usulida topilgan yechim	Taqribiy yechim topishdagi xatolik
1	1.1	1.210000	1.210000	0.000000
2	1.2	1.440000	1.440001	0.000001
3	1.3	1.690000	1.690001	0.000001
4	1.4	1.960000	1.960001	0.000001
5	1.5	2.250000	2.250001	0.000001

12-MA’RUZA:
Differensial tenglamalar sistemasi va uni yechish usullari.
Reja:

1. 
   Normal sistema uchun Koshi masalasi.
   
2. 
   Chiziqli bog’liqlik.
   
3. 
   Vronskiy determinanti va xossalari.
   
4. 
   Noma’lumni yo’qotish usuli.
   
5. 
   Dalamber usuli.
   
6. 
   Integrallar.
   

(1)
ko’rinishidagi differensial tenglamalar sistemasi normal sistema deyiladi, bu yerda y_i lar x ning noma’lum funksiyalari, f_i lar biror Q_n+1 chegaralangan sohada aniqlangan, uzluksiz funksiyalar.
TA’RIF: Agar biror I intervalda aniqlangan
( ) funksiyalar sistemasi uchun
1. (x, )Q_n+1
2.  _i(x)C¹(I)
3.  _i(x)f_i(x,  ₁(x),  ₂(x), …,  _n(x)) xI
shartlar bajarilsa, bu funksiyalar (1) sistemani I da aniqlangan yechimi deyiladi.
KOSHI MASALASI: ( ) bo’lib, (1) sistemaning va
(2)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi (1) sistema uchun K.M. deyiladi.
TEOREMA: Agar (2) sistema uchun ( ) boshlang’ich qiymatlar berilgan bo’lib
1. (f₁, f₂,…, f_n) funksiyalar quyidagi
P=
yopik sohada uzluksiz (Demak chegaralangan | f_i |M).
2. P sohada f_i funksiya argumentlar bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda (1) sistema ( ) intervalda (2) shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimga ega.

Bu holda Lipshits sharti

ko’rinishda bo’ladi.
Ushbu teorema ham birinchi tartibli tenglama uchun Pikar teoremasini isbotiga o’xshash isbotlanadi.
MISOL: Koshi masalasini yeching.

VRONSKIY DETERMINANTI

Agar I intervalda aniqlangan ( ) vektor funksiyalar uchun bir vaktda nolga teng bo’lmagan o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki, shu sonlar uchun
(2)
ayniyat o’rinli bo’lsa, u holda berilgan funksiyalar I da chiziqli bog’liq deyiladi. Aks holda chiziqli erkli deyiladi.
bu yerda

(2) ayniyatni ochib yozamiz

Bu sistema _i larga nisbatan chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qiladi. Uning determinantini yozib olamiz

Bu determinantga sistema uchun Vronskiy determinanti deyiladi .
Bizga
(3)
(4)
chiziqli sistema berilgan bo’lsin.
TEOREMA: Agar (4) sistemada A(x) I da uzluksiz bo’lib shu sistema yechimlaridan tuzilgan Vronskiy determinanti I intervalda kamida bitta (x=x₀) nuqtada nolga teng bo’lsa, u holda funksiyalar I da chiziqli bog’liq bo’ladi.
TEOREMA 2. Agar yechimlar uchun W(x₀)0 bo’lsa
(x₀I) W(x₀)0, xI o’rinli .
MISOL:

(4)ning chiziqli erkli yechimlari sistemasi, fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
Endi sistemani mexanik maonosiga qisqacha to’xtalib o’tamiz.

1. 
   ko’rinishdagi normal sistemani
   

(5)
echimga n o’lchovli fazoda x nuqtaning xarakati mos keladi.
Bu fazoga holatlar fazosi (n=2 da holatlar tekisligi), xarakat natijasida hosil bo’lgan egri chiziq xarakat teritoriyasi deyiladi. (5) tenglamalar xarakat territoriyasining parametrik tenglamalaridir.
Bu tenglamalar nafaqat nuqtaning geometrik o’rnini aniqlaydi, balki shu nuqtani ixtiyoriy vaktda traektoriyadagi holatini aniqlab, traektoriya bo’yicha vakt o’zgarishi bilan nuqtaning xarakatini ko’rsatadi.
(6) sistema (y₁,y₂,...,y_n) fazoning f₁, f₂, ..., f_n funksiyalar aniqlangan qismida tezliklar maydonini aniqlaydi.
Umuman (11) sistemani integrallashdan maqsad barcha xarakat traektoriyalarini topish va ularning xossalarini o’rganishdan iborat.

1. 
   CHiziqli o’zgarmas koeffitsientli sistema.
   
2. 
   Xarakteristik tenglamasi.
   
3. 
   Umumiy yechimi.
   

Endi tenglamalardagi koeffitsientlar o’zgarmas sonlar bo’lganda sistemani yechish usuli bilan tanishamiz.
(6)
ko’rinishdagi yoki yozishga qulay
a_ij=const,
ko’rinishdagi sistema o’zgarmas koeffitsientli chiziqli sistema deyiladi.
Agar f(x)0 bo’lib,
(7)
ko’rinishida bo’lsa, bir jinsli sistema deyiladi.
O’zgarmas koeffitsientli tenglamalarni xususiy yechimini topish usulini esga olib, (7) sistemaning yechimini
(8)
ko’rinishda izlaymiz, bunda _k va - lar o’zgarmas sonlar.
Bu yerda shunga eotibor berish kerakki barcha y_k lar uchun bir xil.
(8)ni (7)ga qo’yamiz.
bo’lib
tenglikni olamiz ga qisqartirib,

tenglikni hosil qilamiz. So’nggi tenglik hadlarini bir tomonga o’tkazib, quyidagi ko’rinishda yozib olamiz.
(9)
bu yerda

(9) ifoda _k larga nisbatan sistema bo’lib, algebradan ma’lumki, sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun, uning determinanti nolga teng bo’lishi lozim. SHuning uchun (9) sistemaning determinantini nolga tenglaymiz.
= 0 (10)
(10) ni yoyib chiqsak, ga nisbatan p – tartibli tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglama (6) sistemaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Uni ildizlari xarakteristik sonlar deyiladi.
determinant xarakteristik determinant deb ataladi.
p – tartibli xarakteristik tenglamani p ta ildizi bo’lib, ular ₁, ₂,…, _n sonlar bo’lsin.
1-hol: _i lar haqiqiy va xar xil. Unda barcha _i larni (4)ga qo’yamiz.
(11)
Bu sistemani i=1,2,.., n lar uchun alohida- alohida yechib, xar bir _i ga mos _i larni topamiz va (3)ga qo’yamiz. Natijada

xususiy yechimlar hosil bo’ladi. Ulardan esa

ko’rinishida umumiy yechimni hosil qilamiz.
Bu yechimlar chiziqli erkli bo’lib, fundamental yechimlar sistemasini hosil qiladi.
2-hol: _i - larni ichida komplekslari bo’lsa, u holda

echimni olamiz, hamda

deb olib, haqiqiy va mavxum qismlarini ajratamiz.

Bu yechimllar chiziqli erkli bo’lib, a-ib ko’rinishdagi ildizlar yangi yechimlarni tashkil etmaydi.
3-hol: _i - ildizlar haqiqiy va ichida karralisi bor.Unda k - karrali xarakteristik son uchun k ta chiziqli erkli yechimlar mos keladi.
SHu o’rinda ushbu teorema o’rinli
TEOREMA: Agar , k - karrali ildiz bo’lsa, u holda unga
(12)
ko’rinishdagi yechimlar mos keladi, bunda p₁(x),…,p_m(x) lar k- 1 – tartibli ko’phadlar.
Yechimni topishda (12)ni (7)ga qo’yib p_i(x) ko’phadni mos darajalari oldidagi koeffitsientlar tenglanib topiladi.
4-hol: Agar _i ildizlar ichida kompleks va k – karralisi bo’lsa, u holda yechim

ko’rinishida izlanadi, bunda p_k-1(x), R_k-1(x) lar k–1 – tartibli ko’phadlar.
Sistemalarni bu usulda yechish Eyler usuli deyiladi.
Agar tenglamalar sistemasi bir jinsli bo’lmasa, u holda oldingi mavzuda ko’rilgan o’zgarmasni variatsiyallash usulini qo’llash mumkin.