1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

.
.
SO’Z BOSHI
Hozirgi kun talabiga javob beradigan mutaxassislar tayyorlash, ularning nazariy va amaliy masalalarni chuqur o’zlashtirishga yordam beradigan darsliklarni, o’quv qo’llanma, uslubiy ko’rsatma va ma’ruzalar matnlarni o’zbek tilida yozish muhim masalalardan biridir.
Bu ma’ruzalar matni TATU FF 1-kurslarining barcha yo’nalishlari bo’yicha bakalavrlar tayyorlash o’quv rejasiga kiritilgan, differensial tenglamalar fani amaliy mashg’ulotlarini o’rganishga bag’ishlangan.
Ushbu ma’ruzalar matnida oddiy differensial tenglamalar fanining birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan va yechilmagan tenglamalar bo’limiga oid tushunchalarning qisqacha bayoni berilgan. Tenglamalarni turlarga ajratilib, ularning yechish usullari misollarda ko’rsatilgan.
Mazkur ma’ruzalar matniga TATU Farg’ona filiali Kompyuter injiniringi va Telekommunikasiya texnologiyalari fakulteti talabalariga "Differensial tenglamalar" fanidan olib borilagan nazariy va amaliy mashg’ulotlar natijasi asos qilib olindi.
Ma’ruzalar matni filialning barcha yo’nalish talabalarining differensial tenglamalar fanidan olgan bilimlarini mustahkamlashga va chuqur o’zlashtirishlariga yordam beradi, degan umiddamiz.

1-MA’RUZA:
Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.
Reja:

1. 
   Differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar.
   
2. 
   Hosila ga nisbatan yechilgan birinchi tartibli tenglamalar. Koshi masalasi.
   
3. 
   O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.
   

Hozirgi kunda fan-texnika rivojlanib borgan sari matematikani roli ortib bormoqda. Shu jumladan matematikadan fizika, mexanika va astronomiya hamda iqtisodiy masalalarni yechishda, biologik jarayonlarni taxlil etishda va boshqa ko’p sohalarda foydalaniladi. Bu sohalardagi jarayonlarni matematik modeli differensial tenglamalar nomi bilan yuritiladi.

Noma’lum funksiyaning hosilasi yoki differensiali qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi.
Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo’lsa, u holda tenglama oddiy differensial tenglama deb, agar noma’lum funksiya ko’p o’zgaruvchili bo’lsa, u holda tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb aytiladi.
Misol 1: Faraz qilaylik moddiy nuqta OX o’qi bo’ylab xarakat qilsin. Xarakat funksiyasi f(t) bo’lsin. Bundan tashqari biror t=t₀ momentda uning abstsissasi x₀ qiymatni qabul qilsin. Shu moddiy nuqtani xarakat qonunini toping.
Bu masalaning matematik modeli

ko’rinish bilan ifodalanadi.
MISOL 2: Radiaktiv modda hisoblangan radiyni parchalanish tezligi uning miqdoriga to’g’ri proportsiolnal. Faraz qilaylik, t momentda R₀ g radiy bor bo’lsin. Ixtiyoriy t momentda R g radiy miqdorini aniqlang.
Agar proportsionallik koeffitsienti c(c>0)ga teng bo’lsa, u holda masala ushbu differensial tenglamani yechishga keltiriladi.

Bu tenglamani t=t₀da R=R₀ga teng bo’ladigan yechimi
R=R₀e^-c(t-t₀⁾
funksiya bilan ifodalanadi. Yuqoridagi masalalardan ko’rinadiki
bitta differensial tenglamani bir necha funksiyalar qanoatlantirishi mumkin, shuning uchun differensial tenglamalar nazariyasining asosiy maqsadi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va ularning xususiyatlarini o’rganishdan iborat.
Differensial tenglamalarni tartibi tenglamada qatnashgan eng yuqori tartibli hosila tartibi bilan aniqlanadi.
TA’RIF: 1. Ushbu
F (x,y, )= 0 (1)
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
TA’RIF 2: Ushbu
(2)
ko’rinishdagi tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
TA’RIF 3: Bitta o’zgarmas songa bog’liq
(3)

1. 
   tenglamaning yechimlari oilasini ifodalovchi funksiya tenglamaning