1. Matematik statistikaning masalalari

2. Bosh va tanlanma to`plam.
Bir jinsli elementlar jamlanmasida ushbu elementlarni xususiyatlarni xarakterlovchi biror alomatni o`rganish talab etilgan bo`lsin. Ko`p hollarda barcha elementlarni alohida o`rganish imkoniyati bo`lmaydi (elementlar soni juda ko`p bo`lishi mumkin, elementni o`rganish ko`p sarf harajat talab etishi mumkin, tekshirilish jarayonida ushbu element yoq qilinishi mumkin va hokazo). Bu hollarda ushbu elementlar jamlanmasidan biror qismini ajratib olinadi va bu ajratilgan to`plam bo`yicha butun jamlanma xususiyatlari haqida hulosalar qilinadi.
Masalan, O`zbekiston fuqarolarining bo`yi yoki og`irligini aniqlamoqchi bo`lsak, har bir kishini tekshirish imkoniyatiga ega bo`lmaymiz, chunki buning uchun ko`p mablag` va vaqt sarflash lozim bo`ladi. Bunday hollarda tekshiruvchi uchun eng yaxshi yo`l soni cheklangan birliklarni shunday ustalik bilan tekshirishki, ular umumiy o`rganilayotgan to`plam haqida amaliy jihatdan yetarli darajada aniqlikda ko`zlangan axborotlarni olish imkoniyatini bersin.
Statistik analiz qilish uchun tasodifiy tanlab olingan to`plam tanlanma to`plam deyiladi.
Tanlanma qaysi to`plamdan olingan bo`lsa, bu to`plam bosh to`plam deyiladi.
Bosh to`plam yoki tanlanma to`plamning hajmi deb, bu to`plamdagi ob`ektlar soniga aytiladi. Odatda bosh to`plam hajmini N, tanlanma to`plam hajmini n bilan belgilanadi.
Masalan, agar 10000 ta detalning sifatini tekshirish uchun 100 ta detal tanlab olingan bo`lsa, bosh to`plam hajmi va tanlanmaning hajmi ga teng bo`ladi.
Agar bosh to`plamdan tanlanma to`plam ajratib olib, bu to`plam ustida kuzatish olib borilgandan so`ng, bu tanlanma to`plam keyingi tanlashdan oldin yana bosh to`plamga qaytarilsa, bunday tanlash usuli takroriy tanlanma deyiladi.
Agar bosh tanlanmadan tanlanma to`plam ajratilib, bu to`plam ustida kuzatish olib borilgandan so`ng bosh to`plamga qaytarilmasa, bunday tanlash usuli takroriy bo`lmagan tanlanma deyiladi.
Agar bosh to`plam hajmi juda katta bo`lib, tanlanma to`plam hajmi katta bo`lmasa, u holda takroriy va takroriy bo`lmagan tanlanmalar orasidagi farq sezilarli bo`lmaydi .
Amaliyotda ko`pincha takroriy bo`lmagan tanlab olish usulidan foydalaniladi. Albatta, bu ikkala tanlab olish usulida ham tanlanma to`plam bosh to`plamning barcha xususiyatlarini saqlagan holda olinishi kerak, ya`ni tanlanma to`plam bosh to`plamga “o`xshash” bo`lishini ta`minlaydigan qilib tanlash lozim.
Agar tanlanma to`plam bosh to`plamni deyarli barcha xususiyatlarini o`zida saqlasa, u holda bunday tanlanma reprezentativ (vakolatli) tanlanma deyiladi.
Reprezentativ tanlanma hosil qilish uchun biz tanlanmani tasodifiy qilib tuzamiz. Tanlab olish usuli bosh to`plamning bizni qiziqtiradigan belgisiga xech qanday ta`sir qilmaydi va bosh to`plamning har bir elementi tanlanmada bir xil imkoniyat bilan qatnashishi ta`minlanadi. Agar tanlanma to`plam reprezentativligini saqlamasa, u holda tanlanma to`plam ustida chiqarilgan xulosani bosh to`plamga tadbiq qilish noto`g`ri xulosaga olib kelishi mumkin.
Matematik statistika tasodifiy hodisalar yoki jarayonlar haqida shu hodisalarni kuzatish yoki tajribalar natijasida olingan ma’lumotlar asosida umumiy xulosalar chiqaradigan matematik fandir. Bu xulosalar umumiylik xususiyatlariga ega bo‘lib, kuzatilayotgan tasodifiy holatlarning barchasiga taaluqlidir. Matematik statistika ehtimollar nazariyasiga tayangan holda, uning usullari va nazariy hulosalari asosida o‘rganilayotgan obyekt haqida xulosalar chiqaradi. Agarda ehtimollar nazariyasida biz o‘rganayotgan matematik model to‘la-to‘kis berilgan deb hisoblab, bu model bizni qiziqtirayotgan holatlarni o‘rgansak, matematik statistikada biz qandaydir tasodifiy hodisalar natijalaridan kelib chiqqan holda(bular ko‘pchilik hollarda sonlardan iborat bo‘ladi), tasodifiy jarayonlarning matematik modelini tuzishga harakat qilamiz. Matematik statistika o‘zining xulosa chiqarish usullari yordamida o‘rganilayotgan obyektning nazariy ehtimoliy modelini tuzishga qaratilgan. Masalan, Bernulli sxemasida biz kuzatayotgan A hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi p bo‘lsin. Bizni n ta bog‘liqsiz tajribalar natijasida A hodisasining k( ) marta ro‘y berish ehtimolligi qiziqtirsin. Bu masala ehtimollar nazariyasining usullari bilan to‘liq hal etiladi. Endi shunday masala qo‘yilsin: n ta bog‘liqsiz tajribalarda bizni qiziqtiradigan A hodisa k marta ro‘y bersin. U holda shu hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi p deb qanday miqdorni olish kerak? Bu hol matematik statistikaning namunaviy masalasidir. Ko‘rinib turibdiki, matematik statistika masalalari ehtimollar nazariyasi masalalariga teskari masalalar ekan.
Matematik statistika o‘z hulosalarida biz qiziqayotgan tasodifiy hodisalarni tavsiflaydigan, odatda sonlardan iborat bo‘lgan statistic ma’lumotlar asosida o‘rganilayotgan tasodifiy jarayonning nazariy-ehtimoliy qonuniyatlarini tuzish uchun turli usullarni ishlab chiqishga qaratilgandir.
Endi Bernulli sxemasi misolida matematik statistika shug‘ullanadigan va hal qilinadigan asosiy masalalarni ko‘rib chiqaylik.
I. Noma’lum parametrni statistik baholash. n ta tajriba natijasida biz kuzatayotgan A hodisa m marta ro‘y bersin. U holda, shu ma’lumotlar asosida biz shunday miqdorni aniqlaylikki, uni sifatida qabul qilish mumkin bo‘lsin. Bizning holimizda A hodisaning chastotasini deb qabul qilishimiz tabiiy. Albatta, biz statistik baho deb taklif etayotgan miqdor ma’lum ma’noda noma’lum parametr p ga yaqin bo‘lishi kerak.
II.Ishonchlilik oralig‘i. Ba’zi hollarda noma’lum parametr p ning aniq qiymati emas, balki 1 ga yetarlicha yaqin ehtimollik bilan uning qiymatini statistik ma’lumotlar asosida aniqlanadigan biror oraliqqa tegishli bo‘lishi qiziqtiradi. Bunda oraliq chegaralari va - t.m.lar faqat m ga bog‘liq bo‘ladi. Tajriba natijasida to‘liq aniqlanadigan oraliq - ishonchlilik oralig‘i deyiladi.
III. Statistik gipotezalarni tekshirish. Faraz qilatlik, qandaydir (aprior) mulohazalar asosida degan xulosaga keldik. Bu yerda - aniq miqdor. Nisbiy chastota asosida biz statistik gipoteza ning to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligini tekshirishimiz kerak. Yetarli katta n lar uchun nisbiy chastota p ehtimollikka yaqin bo‘lgani uchun, statistik gipoteza ni tekshiruvchi alomat ayirma asosida quriladi. Agarda bu ayirma katta bo‘lsa, asosiy gipoteza rad etiladi, agarda bu ayirma yetarlicha kichik bo‘lsa, statistik gipotezani rad etishga asos bo‘lmaydi.
Yuqorida ko‘rsatilgan va boshqa statistik ma’lumotlarni hal etish matematik statistikaning vazifasidir. Matematik statistika bu masalalarni o‘zining tushunchalari va statistik usullari bilan hal etadi.