1. Matematik statistikaning masalalari

1. Matematik statistikaning masalalari
Mavzu. Matematik statistika elementlari

Reja

1.Matematik statistikaning masalalari
2.Matematik statistikaning parametrik masalalari.
3. Empirik taqsimot funksiya.
4. Matematik statistikaning parametrik masalalari.

1. Matematik statistikaning masalalari.
Statistika so`zi lotincha so`zdan olingan bo`lib, holat, vaziyat degan ma`noni anglatadi.
Statistika tabiatda va jamiyatda bo`ladigan ommaviy hodisalarni o`rganadi. Statistika fani qonuniyatlarni aniqlash maqsadida ommaviy tasodifiy hodisalarni kuzatish natijalarni tasvirlash, to`plash, sistemalashtirish, tahlil etish va izohlash usullarini o`rganadi.
Matematik statistika esa ommaviy va ijtimoiy xarakterga ega bo`lgan tabiiy jarayonlarni tahlil etish uchun matematik apparat bo`lib xizmat qiladi.
Matematik statistikaning vazifasi o`rganilayotgan ob`yekt bo`yicha statistik ma`lumotlarni to`plash, ularni taxlil qilish va shu asosda ba`zi bir xulosalarni chiqarishdan iborat.
Quyida matematik statistikaning asosiy masalalari bilan tanishib chiqamiz:
1. Faraz qilaylik, tasodifiy miqdor ning taqsimot funksiyasi bo`lsin. Statistika nuqtai nazaridan tasodifiy miqdor ustida n ta o`zaro bog`liq bo`lmagan tajribalar o`tkazib, qiymatlarni olgan bo`laylik. Hosil bo`lgan lar bo`yicha tasodifiy miqdorning no`malum taqsimot funksiyasini baholash matematik statistikaning vazifalaridan biridir. Matematik statistikaning ushbu masalani yechish bilan shug`ullanuvchi bo`limi noparametrik baholash nazariyasi deb ataladi.
2. tasodifiy miqdor k ta noma`lum parametrga bog`liq ma`lum ko`rinishdagi taqsimot funksiyaga ega bo`lsin. tasodifiy miqdor ustidagi kuzatishlarga asoslanib, bu noma`lum parametrlarni baholash matematik statistikaning vazifasidir. Matematik statistikada bu masalani yechish bilan shugulanuvchi bo`lim parametrik baholash nazariyasi deyiladi.
3. Kuzatilayotgan miqdorlarning taqsimot qonunlari, ba`zi xarakteristikalari haqidagi har qanday farazlarni “statistik gipotezalar ” deb ataladi.
Faraz qilaylik, ba`zi mulohazalarga asoslanib, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini deb hisoblash mumkin bo`lsin, shu funksiya xaqiqatdan ham ning taqsimot funksiyasimi yoki yo`qmi degan savol statistik gipoteza hisoblanadi.
U yoki bu gipotezani tekshirish uchun kuzatishlar orqali yoki maxsus tajribalar o`tkazish yo`li bilan ma`lumotlar olib, ularni qilingan gipotezaga muvofiq nazariy jihatdan kuzatilayotgan ma`lumotlar bilan taqqoslab ko`rish kerak. Agar olingan ma`lumotlar haqiqatdan ham nazariy jihatdan kutilgan ma`lumotlar bilan mos kelsa, u vaqtda bu fakt o`sha gipotezaning to`g`riligiga ishonch hosil qilish bilan, uni qabul qilish uchun asos bo`lishi mumkin. Agar olingan ma`lumotlar nazariy jihatdan kutilayotgan ma`lumotga yetarlicha to`g`ri kelmasa u holda qilingan gipotezani qabul qilishga asos bo`lmaydi.
Umuman, kuzatish natijalari bilan nazariy jihatdan kutiladigan natija orasidagi farq turlicha bo`lishi mumkin. Shu farqni statistik baholash natijasida u yoki bu gipotezani ma`lum ehtimollik bilan qabul qilish mumkin, ya`ni shu farq katta bo`lsa gipoteza qabul qilinmaydi, aks holda qabul qilinadi, albatta bu farq qancha bo`lganda gipotezani qabul qilish mumkinligi masalaning quyilishiga bog`liq bo`ladi.
Matematik statistikaning bu masalani yechish bilan shug`ullanuvchi bo`limi statistik gipotezalar nazariyasi deyiladi.
Matematik statistika tasodifiy hodisalar yoki jarayonlar haqida shu hodisalarni kuzatish yoki tajribalar natijasida olingan ma’lumotlar asosida umumiy xulosalar chiqaradigan matematik fandir. Bu xulosalar umumiylik xususiyatlariga ega bo‘lib, kuzatilayotgan tasodifiy holatlarning barchasiga taaluqlidir. Matematik statistika ehtimollar nazariyasiga tayangan holda, uning usullari va nazariy hulosalari asosida o‘rganilayotgan obyekt haqida xulosalar chiqaradi. Agarda ehtimollar nazariyasida biz o‘rganayotgan matematik model to‘la-to‘kis berilgan deb hisoblab, bu model bizni qiziqtirayotgan holatlarni o‘rgansak, matematik statistikada biz qandaydir tasodifiy hodisalar natijalaridan kelib chiqqan holda(bular ko‘pchilik hollarda sonlardan iborat bo‘ladi), tasodifiy jarayonlarning matematik modelini tuzishga harakat qilamiz. Matematik statistika o‘zining xulosa chiqarish usullari yordamida o‘rganilayotgan obyektning nazariy ehtimoliy modelini tuzishga qaratilgan. Masalan, Bernulli sxemasida biz kuzatayotgan A hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi p bo‘lsin. Bizni n ta bog‘liqsiz tajribalar natijasida A hodisasining k( ) marta ro‘y berish ehtimolligi qiziqtirsin. Bu masala ehtimollar nazariyasining usullari bilan to‘liq hal etiladi. Endi shunday masala qo‘yilsin: n ta bog‘liqsiz tajribalarda bizni qiziqtiradigan A hodisa k marta ro‘y bersin. U holda shu hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi p deb qanday miqdorni olish kerak? Bu hol matematik statistikaning namunaviy masalasidir. Ko‘rinib turibdiki, matematik statistika masalalari ehtimollar nazariyasi masalalariga teskari masalalar ekan.
Matematik statistika o‘z hulosalarida biz qiziqayotgan tasodifiy hodisalarni tavsiflaydigan, odatda sonlardan iborat bo‘lgan statistic ma’lumotlar asosida o‘rganilayotgan tasodifiy jarayonning nazariy-ehtimoliy qonuniyatlarini tuzish uchun turli usullarni ishlab chiqishga qaratilgandir.
Endi Bernulli sxemasi misolida matematik statistika shug‘ullanadigan va hal qilinadigan asosiy masalalarni ko‘rib chiqaylik.
I. Noma’lum parametrni statistik baholash. n ta tajriba natijasida biz kuzatayotgan A hodisa m marta ro‘y bersin. U holda, shu ma’lumotlar asosida biz shunday miqdorni aniqlaylikki, uni sifatida qabul qilish mumkin bo‘lsin. Bizning holimizda A hodisaning chastotasini deb qabul qilishimiz tabiiy. Albatta, biz statistik baho deb taklif etayotgan miqdor ma’lum ma’noda noma’lum parametr p ga yaqin bo‘lishi kerak.
II.Ishonchlilik oralig‘i. Ba’zi hollarda noma’lum parametr p ning aniq qiymati emas, balki 1 ga yetarlicha yaqin ehtimollik bilan uning qiymatini statistik ma’lumotlar asosida aniqlanadigan biror oraliqqa tegishli bo‘lishi qiziqtiradi. Bunda oraliq chegaralari va - t.m.lar faqat m ga bog‘liq bo‘ladi. Tajriba natijasida to‘liq aniqlanadigan oraliq - ishonchlilik oralig‘i deyiladi.
III. Statistik gipotezalarni tekshirish. Faraz qilatlik, qandaydir (aprior) mulohazalar asosida degan xulosaga keldik. Bu yerda - aniq miqdor. Nisbiy chastota asosida biz statistik gipoteza ning to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligini tekshirishimiz kerak. Yetarli katta n lar uchun nisbiy chastota p ehtimollikka yaqin bo‘lgani uchun, statistik gipoteza ni tekshiruvchi alomat ayirma asosida quriladi. Agarda bu ayirma katta bo‘lsa, asosiy gipoteza rad etiladi, agarda bu ayirma yetarlicha kichik bo‘lsa, statistik gipotezani rad etishga asos bo‘lmaydi.
Yuqorida ko‘rsatilgan va boshqa statistik ma’lumotlarni hal etish matematik statistikaning vazifasidir. Matematik statistika bu masalalarni o‘zining tushunchalari va statistik usullari bilan hal etadi.