1-Mavzu: “Statistika” faniga kirish

O’rtacha arifmetik xossalari
Arifmetik o’rtacha bir qator xususiyatlarga ega:

1. 
   Belgining ayrim miqdorlari (qator variantalarining ayrim qiymatlari) bilan ularning arifmetik o’rtacha darajalari o’rtasidagi farqlar yig’indisi doimo 0 ga teng, ya’ni: .
   

Belgining ayrim miqdorlari bilan ularning arifmetik o’rtachasi orasidagi farqlarning kvadratlari yig’indisi minimal qiymatga ega, ya’ni yoki

1. 
   Agar belgining har bir qiymatini o’zgarmas ixtiyoriy songa bo’linsa (yoki ko’paytirilsa), u holda arifmetik o’rtacha qiymati shu son marta kamayadi (yoki ko’payadi):
   

.
4. Agar belgining har bir qiymatidan o’zgarmas ixtiyoriy son ayrilsa, yoki qo’shilsa, u holda arifmetik o’rtacha qiymati ham shu songa kamayadi yoki ko’payadi.
.
5. Agar o’rtacha arifmetik vazn qiymatlarini o’zgarmas ixtiyoriy songa bo’linsa, (yoki ko’paytirilsa) u holda o’rtacha qiymati o’zgarmaydi.

1. 
   Belgining ikki va undan ortiq to’plamlar bo’yicha o’rtacha qiymatlarning yig’indisi uning umumiy jamlama to’plam bo’yicha o’rtacha qiymatiga teng:
   

O’rtacha arifmetikni «shartli moment» usulida hisoblash
qator variantalaridan o’zgarmas ixtiyoriy A soni ayirib, olingan natija boshqa ixtiyoriy V songa bo’linadi. Natijada berilgan X_i qatordan qatori vujudga keladi. Bu qator uchun arifmetik o’rtacha hisoblanadi
.
So’ngra u V soniga ko’paytiriladi va olingan natija ustiga A soni qo’shiladi. Natijada boshlang’ich qatorning haqiqay arifmetik o’rtacha miqdori kelib chiqadi
.

Kengligi teng oraliqli qatorlarda «A» deb variantaning o’rtadagi qiymatini «V» o’rnida esa oraliq kengligi olish tavsiya etiladi.

7.3. O’rtacha geometrik miqdor.

Geometrik o’rtacha deb shunday ilmiy qoidaga asos-langan o’rtachaga aytiladiki,u bilan o’rtalashtirilayotgan miqdorlarni almashtirish natijasida bu miqdorlarning o’zaro ko’paytmalari natijasi o’zgarmasligi va to’plam birliklari bo’yicha geometrik progressiya bo’yicha taqsim-lanishi zarur.
Assimetrik, ayniqsa, kuchli og’ishgan (yoki cho’qqilashgan, bo’yiga cho’zilgan)taqsimot qatorlarida geometrik o’rtachani qo’llash asosliroqdir. Ijtimoiy-iqtisodiy hayotda ko’pchilik hodisalar ana shunday shakldagi taqsimotga ega.
Geometrik o’rtacha X_geom n - qator hadlarining o’zaro ko’paytmasini n darajali ildiz ostidan chiqarish hosilasidir, ya’ni
. (7.3).

Bu yerda: hadlar ko’paytmasini bildiradi. Masalan, uyning eni 5 m, bo’yi 11,4 m va balandligi 4 m desak, uy hajmining tomonining o’rtacha uzunligi qancha?

.

Yaqqol ifodalangan asimmetrik taqsimotda (agarda u tasodif bo’lmasdan, hodisa tabiatidan kelib chiqsa) arifmetik o’rtacha doimo ma’lum darajada «soxta» o’rtachadir.

Bunday sharoitda geometrik o’rtacha taqsimotning markaziy tandentsiyasini aniq bir ma’noda ifodalaydi. Belgining tasodiy o’zgaruvchanligi qonuniy, barqaror farqlar (masalan, teng malakali xodimlar ish xaqi o’rtasidagi farqlar) bilan birikib ketishi natijasida assimmetrik taqsimot tarkib topadi, u logarifmli shkalaga aylantirilganda «normal» shaklni oladi, ya’ni belgi logarifmlari uchun normal taqsimot sifatiga ega bo’ladi.
Bunday taqsimot qatorlarining tabiati va xususiyatlari geometrik o’rtachada o’zining aniq ifodasini topadi, chunki u qator hadlarining logarifmlariga asoslanadi. Xaqiqatda ham (7.3) ifodani logarifmlasak:


(7.4).
Yuqoridagi misolimizda:

potentsiallasak,