1-Mavzu: Vektor fazolar, xossalari. Chiziqli qobig’i. Fazoostilar kesishmasi, yig’indisi, to’g’ri yig’indisi. Qismfazolar asosiy xossalari. Qismfazolar yig’indisi, kesishmasi. Qismfazolar to’g’ri yig’indisi. Chiziqli ko’pxillik

TEOREMA. Vektorlar chekli sistemasi ustida chekli elementar almashtirishlar natijasida berilgan sistemaga ekvivalent sistema hosil bo‘ladi.
TA’RIF. (1) vektorlar chekli sistemaga ekvivalent bo‘lgan shu sistemani chiziqli erkli qism sistemasini (1) sistemaning bazasi deyiladi. (1) vektorlar sistemasining bazasiga kiruvchi (hamma) vektorlarning soni shu sistemaning rangi deyiladi.
n o‘lchovli vektorlar chekli sistemasi ustida bir nechta elementar almashtirish natijasida quyidagi vektorlar sistemasini hosil qilish mumkin:

bu joyda a₁₁0, a₂₂0,... , a_2n0. bu vektorlar sistemasi chiziqli erkli, rangi k ga teng.
TEOREMA. Ekvivalent vektorlar sistemalarining ranglari tengdir.
3-misol. =<1,1,1>, =<1,2,3>, =<1,3,6> uch o‘lchovli vektorlar sistemasining chiziqli bog‘lanmagan (erkli) ekanligi ko‘rsatilsin.
Yechish. ₁,_2,₃R lar uchun yoki [<₁,₁,₁>+<₂,2₂,3₂>+<_,₃, 3_,_3,, 6₃>=<0,0,0> bo‘lsin. Bundan 1+l₂+l_3, ₁+2₂+3₃, ₁+3_,_2,+ 6₃> =<0,0,0> bu quyidagi birjinsli tenglamalar sistemasiga teng kuchli.
 
oxirgi tenglamalar sistemasini yechib l₁=l₂=l₃=0 ga ega bo‘ lamiz. Demak, berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan ekan.
4-misol. vektorlar sistemasidagi chiziqli bog‘lanish tekshirilsin.
Yechish. ₁,_2,₃R lar uchun yoki <₁,₁, 2₁>+<2₂, 3₂, 4₂>+<₃, 2₃, 2₃>=<0,0,0>bo‘lsin. Bu quyidagi sistemaga teng kuchli.
 
l₁=l₃, l₂=-l₃
bu sistema cheksiz ko‘p bo‘lmagan yechilmalarga ega. Masalan l₁=1 l₁=-1, l₁=1 bu holda bog‘lanish o‘ringa ega. Demak, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘langan sistemani tashkil etadi.
5-misol. T₂={f(x):f(x)=a₀+a₁x +a₂x², a₀, a₁,a₂R} T₂ - haqiqiy sonlar maydoni maydon ustidagi vektor fazoni tashkil etadi (2-misolga qarang). l₁(x)=1, l₂(x)=x, l₃(x)=x² desak, l₁(x), l₂(x), l₃(x)T₂. u holda (l₁,l_2,l₃ÎR) lar uchun l₀+l₁x+l₂x²T₂. Buni e’tiborga olsak T₂=L(l₁(x), l₂(x), l₃(x)) ekanligi kelib chiqadi.