1-mustaqil ishi Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Runge-Kutta usuli

y_i+1=y_i+ y_i , (i=0,1,2, ...n) (7.5.3)
Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:

1. 
   (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.
   
2. 
   “x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u^’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.
   
3. 
   Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.
   
4. 
   K₁⁽⁰⁾ ni 1 ga, K₂⁽⁰⁾ va K₃⁽⁰⁾ larni 2 ga, K₄⁽⁰⁾ ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
   

I-IV jarayonni Kⁱ ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va u=(1/6) (K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) ni
topamiz. Va nihoyat y_i+1=y_i+ y_i topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz.
1-Jadval

	X	U	u’=f(x,y)	K=hf(x,y)	u
1	2	3	4	5	6
	x0	y0	f(x0 ,y0)	K1^(0)	K1^(0)
	x0+h/2	y0+K1^(0)/2	f(x0+h/2; y0+K1^(0)/2)	K2^(0)	2K2^(0)
0	x0+h/2	y0+K2^(0)/2	f(x0+h/2; y0+K2^(0)/2)	K3^(0)	2K3^(0)
	x0+h	y0+K3^(0)	f(x0+h; y0+K3^(0))	K4^(0)	K4^(0)
	x1	y1=y0+ y0	f(x1 ,y1)	K1^(0)	K1^(0)
	x1+h/2	y1+K1^(1)/2	f(x1+h/2; y1+K1^(1)/2)	K2^(0)	2K2^(0)
1	x1+h/2	y1+K2^(1)/2	f(x1+h/2; y1+K2^(1)/2)	K3^(0)	2K3^(0)
	x1+h	y1+K3^(1)	f(x1+h; y1+K3^(1))	K4^(0)	K4^(0)
2	x2	y2=y1+ y1

Misol.
Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qo’yilgan

boshlang’ich masalaning
y^’= , u(1)=0 yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.
Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.
2-Jadval

i	xi	yi	f(xi, yi)	K=hf(xi, yi)	y1
0	1 1,05 1,05 1,1	0 0,05 0,057262 0,115907	1 1,145238 1,159071 1,310740	0,1 0,114524 0,115907 0,131074	0,1 0,229048 0,231814 0,131074
					0,115323
1	1,1 1,15 1,15 1,20	0,115323 0,180807 0,188546 0,263114	1,309678 1,464447 1,477905 1,638523	0,130968 0,146445 0,147791 0,163852	0,130968 0,292889 0,295581 0,163852
					0,147215
2	1,2 1,25 1,25 1,3	0,262538 0,344416 0,352591 0,443953	1,637563 1,801066 1,814146 1,983005	0,163756 0,180107 0,181415 0,198301	0,163756 0,360213 0,362829 0,198301
					0,180805
3	1,3 1,35 1,35 1,4	0,443388 0,524495 0,551073 0,660028	1,982135 2,153696 2,166404 2,342897	0,198214 0,215370 0,216640 0,234290	0,198214 0,430739 0,443281 0,234290
					0,216087
4	1,4 1,45 1,45 1,50	0,659475 0,776580 0,785532 0,912824	2,342107 2,521146 2,533493 2,717099	0,234211 0,252115 0,253349 0,271710	0,234211 0,504229 0,506700 0,271711
					0,252808
5	1,5	0,912283

Adabiyotlar:

1. 
   Салохиддинов М. С., Насриддинов Г. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. Ўқитувчи. 1994.
   
2. 
   Xurramov Sh.R. «Oliy matematika». 1-2 jild. Toshkent, “Tafakkur” nashriyoti, 2018.
   
3. 
   Соатов Ё.У Олий математика. Т., Ўқитувчи, 1995. 1-5қисмлар.