1. O’q ustida yo’nalgan kesmalar 1-ta’rif. Yo’nalishi aniq bo’lgan to’g’ri chiziq o’q

2-§. Tekislikda koordinatalar metodi

1. Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi

Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi ikkita o’zaro perpendikulyar o’qlar va chizikli birlik masshtab berilishi bilan aniqlanadi.
O’qlarning kesishish nuqtasi – 0 koordinatalar boshi, birinchi o’q – yoki abssissalar o’qi, ikkinchisini esa – yoki ordinatalar o’qi deb ataladi.
Tekislikda ixtiyoriy nuqta olamiz. nuqtaning va o’qlarga proyeksiyalarini mos ravishda va deb belgilaymiz.
va yo’nalgan kesmalarning kattaliklari va sonlar, nuqtaning to’g’ri burchakli dekart koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi (1-chizma):
y y



0 M_x x 0 x

1-chizma 2-chizma

x-M nuqtaning absissasi, y-M nuqtaning ordinatasi deyiladi.
Koordinata o’qlari tekislikni 4 ta kvadrantga bo’ladi (2-chizma). Chizmada har bir kvadrantga mos nuqta koordinatalarining ishoralari ham ko’rsatilgan.
2. Tekislikda koordinatalarni almashtirish.
Bitta tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini turlicha tanlash mumkin.
A. Koordinata boshini kuchirish.
Oxy koordinata sistemasini olamiz va unda nuqtani belgilaymiz. Bu nuqtadan va nuqtalarga mos ravishda parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Ulardagi yo’nalishlarni mos ravishda va o’qlar yo’nalishiga mos qilib olamiz. U holda birlik masshtabni Oxy sistemadagi kabi olsak, ikkinchi koordinatalar sistemasi ga ega bo’lamiz. sistema Oxy sistemadan koordinata boshini kuchirish natijasida hosil qilingan deyiladi. Koordinata tekisligida biror nuqta olamiz. Uning berilgan koordinatalar sistemasidagi koordinatalari x va y bo’lsin. Yangi koordinatalar sistemasida ular x` va y` bo’ladi (3-chizma).
y y¹


M_y M (x,y)
O`<sub>y</sub> O`(a,b) x`
0 O`_x M_x x
3-chizma
x` va y` larni x va y lar orqali ifodalaymiz, yani nuqtaning yangi sistemasidagi koordinatalarini topamiz. Buning uchun nuqtalardan koordinata o’qlariga perpendikulyar tushiramiz, yani bu nuqtalarni o’qlarga proyeksiyalaymiz. Abssissa o’qida nuqtalarga ega bo’lamiz. Ularning koordinatalari a va x ga teng. Chizmadan ko’rinib turibdiki, x=a+x` ni hisobga olsak x=x-a ga ega bo’lamiz. Xuddi shuningdek y=b+y` ni topamiz.
Demak, x` va y` larni x va y lar orqali ifodalovchi formulalar

dan iborat ekan. Bu tekislikda koordinatalarni almashtirish formulalaridir. a va b yangi koordinata sistemasi boshining koordinatalari bo’ladi.
B. O’qlar yo’nalishini o’zgartirish. Oxy koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Koordinata boshini o’zgartirmasdan o’qlar yo’nalishini teskarisiga o’zgartiramiz. Bu holda yangi Ox`y` sistema hosil bo’ladi (4-chizma).


y M
x` 0 x
y¹
4-chizma

Bu holda har ikkala x va y koordinatalar o’z ishoralarini o’zgartiradi.

C. Masshtabni o’zgartirish. Endi, koordinata o’qlarining yo’nalishini (holatini) va koordinata boshini o’zgartirmasdan birlik kesma uzunligini k marta o’zgartirishni qaraymiz.

Bunday o’zgartirishda nuqtaning yangi va eski koordinatalari ko’yidagicha bog’lanishda bo’ladi