1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi
Yüklə 197,33 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Q.E.D.
Q.E.D.Bu tasdiqning teskarisi ham o'rinli. - Tasdiq. Har qanday ketma-ketlikning limit nuqtasi shu ketma-ketlikning qismiy limiti bo'ladi. Isbot. Faraz qilaylik, a nuqta {xn} ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'lsin, ya'ni yotsin. a nuqtaning istalgan ε-atrofida {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari { } 2 3 4 n n Musbat ε ga ketma-ket 1, 1 , 1 , 1 , ... qiymatlarni berib, shunday a − 1 , a + 1 intervallarni olamizki, bu intervallarning har birida xn ketma-ketlikning cheksiz Birinchi (a − 1, a + 1) interva lda ketma-ketlikning k1 nomerli biror elementini ko'p elementlari yotadi. 2 2 1 1 3 3 { } va hokazo elemetlarni tanlaymiz. Natijada shunday xkn qismiy ketma-ketlik tanlaymiz, ikkinchi a − 1 , a + 1 intervalda k2 > k1 nomerli, uchinchi a − 1 , a + 1 intervalda k3 > k2 nomerli, ..., n- interval a − n , a + n da kn > kn−1 nomerli olamizki, x ∈ a − 1 , a + 1 bo'ladi.
kn n n 1|xkn − a| < n, { } { } ya'ni xkn ketma-ketlik a songa yaqinlashadi. Bu esa, o'z navbatida, a soni xn ketma-ketlikning qismiy limiti ekanini anglatadi. Q.E.D.Umuman aytganda, har qanday ketma-ketlikda qismiy limitlar ko'p bo'lishi mumkin, ammo ularning ichida eng kattasi va eng kichigi ayniqsa katta ahamiyatga egadir. Ta'rif. Ketma-ketlikning eng katta qismiy limiti bu ketma-ketlikning yuqori limiti deyiladi. Agar {xn} ketma-ketlikning yuqori limitini a desak, u quyidagi simvol a = lim xn (2.4.1) n→∞ orqali belgilanadi. Xuddi shunga o'xshash ketma-ketlikning quyi limiti aniqlanadi. Ta'rif. Ketma-ketlikning eng kichik qismiy limiti bu ketma-ketlikning quyi limiti deyiladi. Agar {xn} ketma-ketlikning quyi limitini a desak, u quyidagi simvol a = lim xn (2.4.2) n→∞ orqali belgilanadi. − { − } Yuqorida, ikkita qismiy limitga ega bo'lgan ketma-ketlikka misol sifatida, ( 1)n ketma-ketlik keltirilgan edi. Bu misolda qismiy limitlar 1 va 1 ga teng. Turgan gap, bu holda lim xn = 1, lim xn = −1. n→∞ n→∞ Albatta, o'z-o'zidan quyidagi savol tug'uladi: har qanday ketma-ketlikda ham limit nuqtalar bormi? Agar ketma-ketlik chegaralangan bo'lsa, bu savolga javob ijobiy bo'lar ekan. Bu natija, bir-biridan bog'liqsiz ravishda, chex matematigi B.Bol'sano va nemis matematigi K.Veyershtrass tomonlaridan isbotlangan. Aslida, biz bu yerda bundanda umumiyroq navbatdagi tasdiqni isbotlaymiz. Shuni aytish lozimki, bordiyu ketma-ketlik yagona limit nuqtaga ega bo'lsa, uning yuqori va quyi limitlari o'zaro teng bo'lib, ana shu nuqtadan iborat bo'ladi. - Teorema. Har qanday chegaralangan ketma-ketlik yuqori va quyi limitlarga ega. { } Isbot. Shartga ko'ra, xn chegaralangan ketma-ketlik bo'lsin deylik, ya'ni shunday A va B o'zgarmaslar mavjudki, ular uchun A ≤ xn ≤ B munosabat o'rinli. { } Bu tengsizliklar xn ketma-ketlikning barcha elementlari [A, B] kesmada yotishini anglatadi. Avval biz [A, B] kesmani A + B 2 nuqta orqali ikkita teng kesmalarga ajratamiz. Bu ikki kesmalardan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olganini [a1, b1] simvol orqali belgilaymiz. Bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementini o'z ichiga olsa, [a1, b1] sifatida bu kesmalardan o'ng tarafdagisini olamiz. So'ngra, tanlangan [a1, b1] kesmani ikkita teng kesmaga bo'lamiz va [a2, b2] simvoli orqali ulardan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olganini belgilaymiz. Yana, bordi-yu, har ikkala kesma ham ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga olsa, [a2, b2] sifatida bu kesmalardan o'ng tarafdagisini olamiz. Bu jarayonni davom ettirib, biz shunday ichma-ich joylashgan kesmalar ketma- ketligini olamizki, n- qadamda qurilgan [an Yüklə 197,33 Kb. Dostları ilə paylaş:
|