1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi
Yüklə 197,33 Kb.
|
12.2.1 - Misol. xn = nqat'iy kamayuvchi ketma-ketlikdir. 2.1.1 - Tasdiqda har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo'lishini ko'rdik. Buning teskarisi o'rinli emasligiga esa chegaralangan va uzoqlashuvchi − xn = ( 1)n+1 ketma-ketlik misolida ishonch hosil qilgan edik. Bu misolning o'ziga xosligi shundan iboratki, uning hadlari nol atrofida goh o'sib va goh kamayib o'zgarmas amplituda bilan tebranadi. Boshqacha aytganda, bu ketma-ketlik monoton emas. Ma'lum bo'lishicha, agar ketma-ketlik monoton bo'lsa, uning yaqinlashishi uchun chegaralangan bo'lishi zarur va yetarli ekan. Shu munosabat bilan yuqoridan yoki quyidan chegaralangan ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz. Ta'rif. Agar shunday B soni mavjud bo'lsaki, barcha n nomerlar uchun xn ≤ B (2.2.5) { } shart bajarilsa, xn ketma-ketlikka yuqoridan chegaralangan deyiladi. Xuddi shu singari quyidan chegaralangan ketma-ketlik aniqlanadi. Ta'rif. Agar shunday A soni mavjud bo'lsaki, barcha n nomerlar uchun xn ≥ A (2.2.6) { } shart bajarilsa, xn ketma-ketlikka quyidan chegaralangan deyiladi. { } Har qanday monoton ketma-ketlik hech bo'lmaganda bir tarafdan chegaralangan bo'ladi. Haqiqatan ham, agar xn ketma-ketlik o'suvchi bo'lsa, ixtiyoriy n nomer uchun xn ≥ x1 tengsizlik o'rinli bo'ladi, ya'ni ketma-ketlik quyidan x1 soni orqali chegaralangan. Agar {xn} ketma-ketlik kamayuvchi bo'lsa, ixtiyoriy n nomer uchun xn ≤ x1 tengsizlik bajariladi, ya'ni ketma-ketlik yuqoridan x1 soni orqali chegaralangan. Shunday qilib, monoton ketme-ketlikning chegaralanganligini talab qilmoqchi bo'lsak, u o'suvchi bo'lganda yuqoridan chegaralanganlikni (chunki quyidan u shundoq ham chegaralangan), kamayuvchi bo'lganda esa quyidan chegaralanganlikni talab qilish yetarli. Navbatdagi teoremani biz an'anaviy ko'rinishda keltiramiz. - Teorema. Yuqoridan chegaralangan har qanday o'suvchi ketma-ketlik yaqinlashadi. { } Isbot. Shartga ko'ra, xn ketma-ketlik o'suvchi va yuqoridan chegaralangan bo'lsin, ya'ni (2.2.1) va (2.2.5.) shartlar bajarilsin. E simvoli orqali {xn} ketma-ketlikning qiymatlar to'plamini , ya'ni sonlar o'qining barcha xn nuqtalardan iborat qismiy to'plamini belgilaymiz. (2.2.5) ga ko'ra, E to'plam yuqoridan chegaralangan va shuning uchun, 1.4.1 - asosiy teoremaga binoan, bu to'plamning aniq yuqori chegarasi mavjud. Mana shu aniq yuqori chegarani a = sup E → deb belgilab, xn a ekanini isbotlaymiz. Aniq yuqori chegaraning ta'rifiga ko'ra, xn ≤ a, n = 1, 2, 3, ... (2.2.7) Yana o'sha aniq yuqori chegaraning ta'rifiga asosan ( § 1.2, (ii) shartga qarang), istalgan ε > 0 uchun E to'plamning a − ε nuqtadan o'ngda joylashgan kamida bitta nuqtasi mavjud. Agar xN shunday nuqta bo'lsa, Yüklə 197,33 Kb. Dostları ilə paylaş:
|