1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi
Yüklə 197,33 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Q.E.D.
5, 5, 5, ..., 5, ...Agar ketma-ketlik yaqinlashsa, yuqorida biz ko'rganimizdek, limitining ixtiyoriy ε atrofidan tashqarida ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotar ekan. Bundan har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralangan bo'lishi bevosita kelib chiqadi. - Tasdiq. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir. ≥ { } Isbot. Faraz qilamiz, xn ketma-ketlik biror a songa yaqinlashsin, ya'ni istalgan ε > 0 uchun shunday N nomer topilsinki, n N bo'lganda (2.1.2) bajarilsin. Xususan, agar ε = 1 desak, shunday N = N (1) nomer topiladiki, u uchun |xn − a| < 1, n ≥ N bo'ladi. Shunday ekan, quyidagi |xn| ≤ |xn − a| + |a| tengsizlikka ko'ra, xuddi o'sha n nomerlar uchun |xn| < |a| + 1, n ≥ N (2.1.6) tengsizlikka ega bo'lamiz. Endi M = max { |x1|, |x2|, ..., |xN−1|, |a| + 1} (2.1.7) deylik. Unda (2.1.6) va (2.1.7) larga ko'ra, istalgan n nomer uchun |xn| ≤ M, n = 1, 2, 3, ..., ya'ni xn ketma-ketlik chegaralangan bo'lar ekan. Q.E.D.Yuqorida bu tasdiqning teskarisi o'rinlimi degan savol qo'yilgan edi. Boshqacha aytganda, har qanday chegaralangan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'ladimi? Navbatdagi misol bu savolga salbiy javob beradi. - Misol. Ushbu xn = (−1)n ketma-ketlik chegaralangan va uzoqlashuvchidir. Ketma-ketliklar orasida nolga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar alohida o'rin tutadi. Ta'rif. Nol soniga yaqinlashuvchi ketma-ketlik cheksiz kichik deyiladi. { } { } Ushbu bandda biz cheksiz kichik ketma-ketliklar xossalarini o'rganamiz. Qaralayotgan ketma-ketlikning cheksiz kichikligiga urg'u berish maqsadida uning hadlarini yunoncha harflar αn , βn va hakazolar bilan belgilaymiz. Yuqorida keltirilgan ta'rifga ko'ra, agar istalgan ε > 0 uchun shunday N = N (ε) nomer topilsaki, n ≥ N bo'lganda |αn| < ε (2.1.8) { } tengsizlik bajarilsa, αn ketma-ketlik cheksiz kichik bo'ladi. Ravshanki, statsionar, ya'ni hamma hadlari o'zaro teng xn = c bo'lgan ketma- ketlik faqat c = 0 bo'lgandagina cheksiz kichik bo'la oladi. Cheksiz kichik ketma-ketliklarning quyidagi sodda, lekin shu bilan birga, muhim xossasi bevosita ta'rifdan kelib chiqadi. - Tasdiq. Agar {αn} cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lib, {xn} ketma-ketlik |xn| ≤ |αn| (2.1.9) { } tengsizlikni qanoatlantirsa, xn ketma-ketlik ham cheksiz kichik bo'ladi. Isbot. Cheksiz kichik ketma-ketlikning ta'rifiga ko'ra, istalgan ε > 0 olganda ham shunday nomer N = N (ε) topiladiki, n ≥ N nomerlar uchun (2.1.8) tengsizlik bajariladi. Shunday ekan, (2.1.8) va (2.1.9) tengsizliklardan, n ≥ N bo'lganda |xn| ≤ |αn| < ε tengsizlik keilib chiqadi. Bu esa xn → 0 ni anglatadi. Yüklə 197,33 Kb. Dostları ilə paylaş:
|