1-tema: Matrica túsinigi. Ekinshi hám úshinshi tártipli determinantlar hám olardıń qásiyetleri. Matricalar ústinde ámeller. Reje

1-tema: Matrica túsinigi. Ekinshi hám úshinshi tártipli determinantlar hám olardıń qásiyetleri. Matricalar ústinde ámeller.
Reje:
1.Matritsa haqqında tu`sinik
2.Matritsalardın` ten`ligi.
3. Matritsalar u`stinde a`meller. Keri matritsa.
4. Birinshi da`rejeli ten`lemeler sistemasının` matritsalıq jazılıwı ha`m matritsalıq sheshiliwi
5. Determinant hám onıń mánisi.
6. Determinantlardıń qásiyetleri

k-qatar ha`m n bag`ana tu`rinde jaylastirilg`an kxn sannan ibarat

tablitsa kxn o`lshemli tuwri mu`yeshli matritsa dep ataladi. Bul tablitsadag`i sanlari ( -qatar ha`m -bag`anada ornalasqan) elementleri dep ataladi. Bazibir jag`daylarda a`piwayiliq ushin matritsalardi yamasa belgilerinen de paydalanip jaziw mu`mkin. Eger n=1 bolsa, onda bag`ana matritsag`a ha`m k=1 bolsa, onda sa`ykes qatar matritsag`a iye bolamiz:
ha`m .
Qatarlar sani bag`analar sanina ten`, yag`niy k=n bolsa, onda ol matritsa n-ta`rtipli kvadrat matritsa dep ataladi:

To`rt sannan ibarat tablitsa ekinshi ta`rtipli kvadrat matritsa dep ataladi; sani ekinshi ta`rtipli determinant dep ataladi, bunda -sanlari matritsanin` (determinanttin`) elementleri dep ataladi; -elementi -qatar menen -bag`anada jaylasqan element.

U`shinshi ta`rtipli kvadrat matritsa ha`m onin` determinanti 3x3 elementten turadi:

ha`m
n-ta`rtipli (kvadrat) matritsa dep nxn sannan ibarat to`mendegi tablitsag`a aytiladi:
.
Sa`ykes

sani sol matritsanin` n-ta`rtipli determinanti dep ataladi.
Ha`r bir n-ta`rtipli kvadrat matritsa ushin usi matritsanin` elementlerinen du`zilgen n-ta`rtipli determinantti esaplaw mu`mkin. Bul determinantti yamasa arqali belgileydi.
Eger bolsa, onda A kvadrat matritsasi menshiksiz yamasa ayiriqsha emes matritsa dep ataladi. Eger bolsa, onda A kvadrat matritsasi menshikli yamasa ayiriqsha matritsa dep ataladi.
Kvadrat matritsanin` elementleri jaylasqan diagonali bas diagonal dep, al elementleri jaylasqan diagonali ja`rdemshi diagonal dep ataladi. Bas diagonalda turmag`an barliq elementleri o ge ten` bolg`an kvadrat matritsa diagonal matritsa dep ataladi:

Bunda . Eger bas diagonaldin` barliq elementleri sanina ten` bolsa, onda ol skalyar matritsa dep ataladi ha`m boladi. Bas diagonaldin` barliq elementleri 1 ge ten` bolsa, onda ol birlik matritsa dep, al barliq elementleri nol`ge ten` bolg`an matritsa nollik matritsa dep ataladi:
,
ha`m , boladi.
A matritsasinin` barliq qatarlarin sa`ykes bag`analari menen almastirg`anda payda bolg`an matritsasi A matritsasina qarata transponirlengen matritsa dep ataladi. Dara jag`dayda, qatar-matritsani transponirlew na`tiyjesinde bag`ana-matritsa kelip shig`adi. Eger kvadrat matritsa bolsa, onda ten`ligi orinli. Eger sha`rti orinlansa, onda A kvadrat matritsasi simmetriyali matritsa dep ataladi.
Meyli eki birdey o`lshemdegi matritsalar berilgen bolsin. Eger barliq ha`m indeksleri ushin ten`ligi orinlansa, onda ol matritsalar ten` matritsalar dep ataladi. Matritsalardi qosiw, sang`a ko`beytiw ha`m olardi bir-birine ko`beytiw mu`mkin:
1. C=A+B qosindisi elementleri .
2. matritsanin` sang`a ko`beymesi elementleri
3. mxk o`lshemli A matritsasi menen kxn o`lshemli V matritsasinin` ko`beymesi S=AV elementleri formulasi boyinsha tabiladi. Bunda birinshi matritsanin` bag`analar sani ekinshi matritsanin` qatarlar sanina ten` boliwi za`ru`r. Sonliqtan ba`rqulla AV nin` mag`anag`a iye boliwinan VA nin` da mag`anag`a iye bolatug`inlig`i kelip shiqpaydi. Uliwma jag`dayda .
Matritsalardi qosiw ha`m ko`beytiw qa`siyetleri:
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
ten`ligin qanaatlandiratug`in V matritsasi A matritsasi ushin keri matritsa dep ataladi ha`m belgisi menen belgilenedi. Keri matritsani tabiw izbe-izligi:
1) esaplanadi;
2) Eger , onda nin` barliq elementleri ushin algebraliq toliqtiriwshilar esaplanadi ha`m onin` qatarlari menen sa`ykes bag`analarinin` orini almastirilip matritsasi du`ziledi;
3) matritsasinin` barliq elementleri sanina bo`linedi
.
Keri matritsanin` qa`siyetleri:
1) ;
2) .
Matritsanin` k qatari menen k dana bag`anasinin` kesilispesi arqali payda etilgen kvadrat matritsa onin` k-ta`rtipli minori dep ataladi. Nolden parqli minorlardin` en` u`lken ta`rtibi sol matritsanin` rangi dep ataladi: . Nollik emes matritsanin` rangi 1 den kishi bolmaydi.

Tómendegi

ańlatpa ekinshi tártipli determinant, ayırma onıń mánisi dep ataladı. Demek . Bunda - determinanttıń elementleri, hám determinanttıń sáykes birinshi hám ekinshi qatarı, hám determinanttıń sáykes birinshi hám ekinshi baǵanası dep ataladı. Determinanttıń elementlerindegi birinshi indeks qatar nomerin, ekinshi indeks baǵana nomerin beldiredi. Mısal ushın element ekinshi qatar birinshi baǵana elementi esaplanadı. - determinanttıń bas diagonalı, - járdemshi diagonalı dep ataladı. Demek, ekinshi tártipli determinanttıń mánisi bas diagonal elementleriniń kóbeymesinen járdemshi diagonal elementleriniń kóbeymesin ayırǵanǵa teń.
1-mısal. ekinshi tártipli determinanttı esaplań.
Sheshiliwi.
Úshinshi tártipli determinant túsinigin kiritemiz. Tómendegi

ańlatpa úshinshi tártipli determinant,

onıń mánisi dep ataladı.
Demek =
(1)
Úshinshi tártipli determinant ushın da qatar, baǵana, bas hám járdemshi diagonal túsinigi joqarıdaǵıǵa uqsas kiritiledi. (1) teńliktiń oń tárepindegi kóbeymelerdiń qaysıları «+» qaysıları «-» belgi menen alınıwın eslep qalıw ushın tómendegi sızılmadan paydalanıw qolaylı:

+ -
3-misal. - úshinshi tártipli determinanttı esaplań.
Sheshiliwi.
.
Determinanttıń qásiyetlerin úshinshi tártipli determinantlar ushın keltiremiz.
Bazı- bir úshinshi tártipli (2)
determinant berilgen bolsın.
1⁰. Determinanttıń qatarları olarǵa sáykes baǵanalar menen almastırılsa, determinanttıń mánisi ózgermeydi.
Dáliyllew. (2) determinanttıń qatarların olarǵa sáykes baǵanalar menen almastırıp

determinantqa iye bolamız. Onıń mánisi

boladı. Bunnan , yaǵnıy

teńlikke iye bolamız.
2⁰. Determinanttıń qálegen eki qatarı (eki baǵanası) óz-ara almastırılsa, determinanttıń belgisi qarama-qarsıǵa ózgeredi.
Joqarıda keltirilgen qásiyetlerden tómendegi nátiyje kelip shıǵadı.
1-n á t i y j e. Determinanttıń eki qatarı (baǵanası) birdey bolsa, determinanttıń mánisi nol`ge teń boladı.
3<sup>0</sup>. Determinanttıń qálegen qatarınıń (baǵanasınıń) barlıq elementlerin turaqlı sanına kóbeytsek, determinanttıń mániside ǵa kóbeyedi.
Dáliyllew. (2) determinanttıń birinshi qatarınıń elementlerin turaqlı sanına kóbeytip tómendegi determinanttı payda etemiz
.
Bunnan
=
= =
=
= .
4<sup>0</sup>. Determinanttıń bazı-bir qatarındaǵı (baǵanasındaǵı) barlıq elementler nol` bolsa, determinanttıń mánisi nol`ge teń boladı.
5<sup>0</sup>. Determinanttıń qálegen eki qatarı (baǵanasınıń) óz-ara proportsional bolsa, determinanttıń mánisi nol`ge teń boladı.
6⁰. Determinanttıń bazı-bir qatarındaǵı (baǵanasındaǵı) elementler eki qosılıwshıdan ibarat bolsa, mısal ushın

bolsa, onda

teńlik orınlı. Joqarıda keltirilgen 3⁰ hám 6⁰ qásiyetlerden tómendegi nátiyje kelip shıǵadı.
2-n á t i y j e. Eger determinanttıń bazı-bir qatarın (baǵanasın) turaqlı sanına kóbeytip, onı basqa qatarına (baǵanasına) qosılsa, determinanttıń mánisi ózgermeydi.