1. Tor haqida tushuncha

12-mavzu. Xususiy xosilali differentsial tenglamalar haqida tushuncha. Ikkinchi tartibli chiziqli xususiy xosilali differentsial tegnlamalar va ularning klassifikatsiyasi. Cheksiz tor uchun Koshi maslasini yechish. Asosiy masalalarning qo`yilishi: Koshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar.
1. Tor haqida tushuncha.
Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jisimki, uning uzunligi boshqa o‘lchamlaridan ancha ortiq bo‘ladi.
Torning chekkli nuqtalari mahkamlangan, o‘zi esa qattiq tortilgan bo‘lsin. Agar tor muvozanat holatidan chetlashtirilsa tor tebrana boshlaydi. Biz tor tebranishini bir tekislikda ro‘y beradi deb faraz qilamiz.
Bu tekislikda to‘g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini olamiz . o‘qini torning boshlang‘ich tinch holati bo‘yicha yo‘naltiramiz. U holda torning muvozanat holatidan siljishini beradi. Tor tebranish jarayonida -chetlanish va ga bog‘liq bo‘ladi ya’ni . Har bir fiksirlangan vaqitda funksiya grafigi tor tebranishi grafigini beradi, esa bu grafikning nuqtasiga o‘tkazilgan urinma burchak koeffisiyentini beradi. harakat tezligi harakat tezlanishi.
Bizning maqsadimiz tor harakatini beruvchi funksiya qanoatlantradigan tenglama tuzish. Buning uchun ba’zi bir cheklanishlar qilamiz
1. Tor absayut egiluvchan. Torga ta’sir qilinib turgan taranglik kuchi etarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilganda qarshiligini taranglikka nisbatan hisobga olamsa ham bo‘ladi.
Agar torning biror nuqtadan bir tomonga yotuvchi qismi olib tashlansa, u holda olib tashlangan qismining ta‘sirini almashtiruvchi taranglik kuchi. Shu nuqtada torning urunmasi bo‘yicha yo‘nalgan bo‘ladi.
Torni cho‘ziluvchan emas deb faraz qilamiz va u Guk qonuniga bo‘ysinadi, ya‘ni taranglik kuchini o‘zgarish miqdori torning uzunligini o‘zgarishiga proporsionaldir. Torni bir jinsli deb faraz qilamiz va uning chiziqli zichligini orqali belgilaymiz (birlik uzunlikka to‘g‘ri keluvchi massa).
Torga o‘qiga parallel kuchlar ta‘sir etadi deb faraz qilamiz ular tor bo‘ylab harakat qiladi va , ga bog‘liq, ularning zichligini deb belgillaymiz. Muhitning qarshilik kuchi e‘tiborga olinmaydi. Biz faqat torning kichik tebranishlarini o‘rganamiz.
2. Tor tebranish tenglamasini keltirib chiqarish.
Agar orqali torning nuqtasida vaqtda o‘tkazilgan urinmasini o‘qining musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchagini belgilasak u holda torning kichik tebranishi
(135)
ekanligini ko‘zda tutadi.
ning Makloren qatoriga yoyilmasiga asosan

demak (135) shartga asosan
(136)
Bu erdan

demak .

bu erdan

Lekin


Bu erda

ya’ni kichik tebranishlar tor qisimlari cho‘zilmaydi va qisqarmaydi.
Tebranish, issiqlik tarqalishi, statsionar tenglamalar.
a) Mexanikaning (tor, sterjen, membrana, uch o‘lchovli hajimlarning tebranishlari), fizikaning (elektr tebranishlar) ko‘p masalalari
(137)
ko‘rinishdagi tebranish tenglamalariga olib kelinadi. Bundagi noma’lum funksiya ta fazoviy koordinatalarga hamda vaqitga bog‘liqdir. - muxitning xossalari bilan aniqlanadi. esa tashqi ta’sirning intensivligini aniqlaydi (5) tenglamada

va agar -bo‘lsa

demak

b) Issiqlik tarqalish yoki muhitda zarrachalarning diffuziya jarayonlari
ushbu umumiy differensial tenglama bilan ifodalanadi
(138)
e) Statsinar tenglamalar. Statsionan ya‘ni vaqtga bog‘liq bo‘lmagan
jarayonlar uchun , (5) tebranish hamda (6) diffurziya tenglamalar ushbu

ko‘rinishda bo‘ladi.