1. Variatsiyaning xossalari

4-misol.

funksional qaysi egri chiziqlar ustida ekstremumga erishadi?.
Yechish. Bu yerda . Eyler tenglamasini tuzamiz:

yoki

Bu funksiya chegaraviy shartlardan birinchisini qanoatlantiradi. Lekin ikkinchi shartini faqat bo’lsagina qanoatlantiradi.
5-misol.

funksional qaysi egri chiziqlar ustida ekstremumga erishadi?.
Yechish. Bu yerda . Bundan . Demak funksional ko’rinishini quyidagicha o’zgartirish mumkin:

Bu integralni qaysi egri chiziq bo’yicha hisoblamaylik hamma vaqt o’zgarmas qiymat hosil bo’ladi. Bu yerda variatsion masala ma’noga ega emas.
3. funksiya faqat ga bog’liq bo’lsin:

Bu holda bo’lib Eyler tenglamasi yoki bo’ladi. Bundan yoki tenglamalarga ega bo’lamiz. differensial tenglamani integrallasak ikki parametrli to’g’ri chiziqlar oilasi hosil bo’ladi. tenglamani integrallash uchun uni ga nisbatan yechamiz: . Bundan uning integrallari yuqoridagi ikki parametrli to’g’ri chiziqlar oilasida joylashgan to’g’ri chiziqlardan iboratligi ko’rinadi. Demak bo’lgan holda funksionalning ekstremallari faqat to’g’ri chiziqlar orasida bo’ladi.
6-misol. Matematik analiz kursidan ma’lumki, egri chiziqning kesmadagi yoyi uzunligi

formula bilan hisoblanadi. Bu funksionalning ekstremallari to’g’ri chiziqlar orasida bo’ladi.
4. funksiya faqat va ga bog’liq bo’lsin:

Bu holda bo’lib Eyler tenglamasi ko’rinishga ega. Bu differensial tenglamaning birinchi integrali

birinchi tartibli differensial tenglamadan iborat. Uni yo ga nisbatan yechib yo parameter kiritish yo’li biln integrallash mumkin.
7-misol. Funksionalning ekstremallarini toping

Bu yeda . Eyler tenglamasining birinchi integralini yozamiz: . Bu tenglamani integrallash uchun parametr kiritamiz. Natijada: . Yoki o’zgarmasni boshqatdan tanlasak
Boshqa tomondan . Bundan yoki tenglikka ega bo’lamiz. Shunday qilib Eyler tenglamasining parametrik ko’rinshdagi

Bu sistemadan ni yo’qotamiz: . Demak izlanayotgan ekstremallari markazi ordinatalar o’qida joylashgan aylanalar orasida bo’ladi.
5. funksiya faqat va ga bog’liq bo’lsin:

Bu holda Eyler tenglamasi

ko’rinishga ega. Tenglamaning ga ko’paytirsak

tenglamaga ega bo’lamiz. Haqiqatdan ham


Eyler tenglamasining birinchi integralini yozamiz:

Bu birinchi tartibli differensial tenglamani yo ga nisbatan yechib yo parameter kiritish yo’li biln integrallash mumkin.
8-misol. Matematik analiz kursidan ma’lumki, egri chiziqning kesmadagi yoyini o’qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo’lgan jizmning sirti (10-rasm)

10-rasm

formula bilan hisoblanadi.
Integral ostidagi ifoda faqat va ga bog’liq. Eyler tenglamasining birinchi integralini yozamiz:

soddalashtiramiz

Bu differensial tenglamani integrallash uchun parametr kiritamiz. Natijada hosil bo’ladi. Boshqa tomondan

Bundan . Shunday qilib izlanayotgan ekstremal chiziqlarning parametrik ifodasi aniqlandi:

Bu sistemadan ni yo’qotish mumkin: .