Reja: To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi Tinglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligi hisoblansin Qutb koordinatalar

Egri chiziq yoyining uzunligi. Hajmlarni hisoblash


Reja:


1. To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi
2. Tinglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligi hisoblansin
3. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi
4. Jismning hajmini parallel kesimlar yuzalari bo`yicha hisoblash
1. To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi
Tekislikda egri chiziqning AB yoyi (a,b) intervalda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi bo`lsin.
Bu egri chiziqning x=a va x=b vertikal to`g`ri chiziqlar orasidagi AB yoyning uzunligini topamiz (29-chizma).
Buning uchun uni M1, M2,…,Mn-1 nuqtalar yordamida n bo`lakka bo`lamiz. Qo`shni bo`lgan nuqtalarini kesma bilan tutashtirib AM1,M1.M2,…Mi-1.Mi,…,Mn-1B bug`unlardan tashkil topgan siniq chiziqlarni hosil qilamiz. Ularning uzunliklarini mos tartibda bilan belgilab ni hosil qilamiz.

29-chizma
Ta`rif. yoyning uzunligi deb, ichki chizilgan siniq chiziqning eng katta bo`g`ini uzunligi nolga intilgandagi limitiga aytiladi:

Bunda (2) limit mavjud va ichki chizilgan siniq chiziqlarning tanlanishiga bog`liq bo`lmaydi, deb faraz qilamiz.
Teorema. Agar AB yoy y=f(x) tenglama bilan berilgan bo`lsin, bu yerda f(x)-[a,b] da uzluksiz birinchi tartibli hosilaga egabo`lgan funksiya.
U holda uning uzunl formulasi yordamida hisoblanadi. (isboti [4], 373 betda).
25-misol. y2=x2 parabolaning O(0:0) dan A(1:1) nuqtagacha bo`lgan yoy uzunligini toping.
Yechish. (12) formulaga ko`ra, quyidagiga ega bo`lamiz:

2 Tenglamasi parametrik ko`rinishda berilgan yoy uzunligini hisoblash.
Egri chiziq tenglamasi (13) parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsa, bunda uzluksiz, differensiallanuvchi funksiyalar. Bu holda (13) tenglama biror y=f(x) uzluksiz funksiyani aniqlab, uzluksiz hosilaga ega.
bo`lsin. Bu holda (12) integralda (14) almashtirishni bajarib, (15) yoy uzunligini hisoblovchi formulani hosil qilamiz.
Izoh. Agar egri chiziq fazoda parametrik tenglamalar (16) bilan berilgan bo`lsa , u holda yoyning uzunligi (16) formula bilan aniqlanadi.
26-misol. siklorida bitta arki (27-chizma) uzunligini hisoblang.
Yechish. Sikloida arklari bir xil bo`lgani uchun (15)uning bitta arkini olamiz.
Bunda t parametr 0 dan gacha o`zgaradi, bo`lgani uchun fo`rmulaga ko`ra egri chiziqning uzunligi quyidagicha aniqlanadi :

3. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglamasi bo`lsin, bunda qutb radiusi, qutb burchagi.
Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o`tish formulasini yozamiz: . Agar bunda o`rniga uning orqali ifodasini qo`ysak, u holda tenglamalari hosil bo`ladi. Bu tenglamalarga egri chiziqning parametrik tenglamalari deb harash va yoy uzunligini hisoblash uchun formulani tatbiq etish mumkin. Buning uchun x va y dan parametr bo`yicha hosila olamiz: .
Bu holda (18) orqali egri chiziq yoyi uzunligi hisoblanadi. Bunda va qutb burchagi ning yoy uchlaridagi qiymatlari ( ).
27-misol. Arximed spirali ning bir o`rami uzunligini toping. (30. chizma).
Y echish. Ma`lumki Arximed spiralining bir o`rami ning 0 dan gacha o`zgarishida hosil bo`ladi. ekanligini va (1) formulaga ko`ra:
Bunda formuladan foydalandik.
4. Hajmlarni hisoblash
Fazoda x=a, x=b tekisliklar orasida joylashgan biror jism berilgan bo`lsin. Ox o`qiga perpendikulyar va nuqtalardan o`tuvchi har qanday tekisliklar bu jismni kesganda hosil bo`lgan kesimning yuzi S(x) ga t eng bo`lsin (31-chizma). U holda x=a, x=b tekisliklar orasidagi jismning hajmi formula bilan hisoblanadi.

28-misol. ellipsoid bilan chegaralangan jism hajmini hisoblang.
Yechish. Ellipsoidni Oy o`qiga perpendikulyar nuqtalardan o`tuvchi ixtiyoriy tekislik bilan kesilganda hosil bo`lgan kesimni qaraymiz (32-chizma).

Kesim tenglamasi. yoki bo`lsa, u holda , ya`ni yarim o`qlari bo`lgan ellipsga egabo`lamiz. Bu kesimni yuzi esa ga t eng. U holda (2) formulaga ko`ra: