1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi tо‘g‘risida tushuncha

1-Mavzu. Matematik fizika tenglamalari va ularning yechimi tо‘g‘risida tushuncha. Xarakteristik forma. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning klassifikatsiyasi va kanonik ko’rinishi.


1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi tо‘g‘risida tushuncha. orqali dekart ortogonal koordinatalari bо‘lgan nuqtalarning о‘lchovli Yevklid fazosidagi sohani, ya’ni ochiq (bо‘sh bо‘lmagan) bog‘langan tо‘plamni belgilaymiz. Tartiblangan manfiy bо‘lmagan ta butun sonning ketma-ketligi tartibli multiindeks deyiladi, son bu multiindeksning uzunligi deb ataladi.
funksiyaning nuqtadagi tartibli hosilasini

kо‘rinishda yozib olamiz. Xususiy holda bо‘lganda

funksiya soha nuqtalarining va haqiqiy о‘zgaruvchining berilgan funksiyasi bо‘lib, kamida bitta hosila noldan farqli bо‘lsin.
Ushbu
(1)
tenglik noma’lum funksiyaga nisbatan tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
(1) tenglamaning chap tomoni esa xususiy hosilali differensial operator deb ataladi.
Agar barcha о‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bо‘lsa, (1) tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Agarda bо‘lganda barcha о‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bо‘lsa, (1) tenglama kvazichiziqli differensial tenglama deyiladi.
sohada aniqlangan funksiya (1) tenglamada ishtirok etuvchi barcha hosilalari bilan uzluksiz bо‘lib, uni ayniyatga aylantirsa, funksiyani (1) tenglamaning regelyar (klassik) yechimi deyiladi.
Xususiy hosilali tartibli chiziqli differensial tenglamani ushbu
(2)
kо‘rinishda yozib olish mumkin.
Barcha lar uchun (2) tenglamaning о‘ng tomoni nolga teng bо‘lsa, (2) tenglama bir jinsli, funksiya nolga teng bо‘lmasa, bir jinsli bо‘lmagan tenglama deyiladi.
Agar va funksiyalar bir jinsli bo’lmagan (2) tenglamaning yechimlari bo’lsa, ravshanki, ayirma bir jinsli ( ) tenglamanining yechimi bo’ladi.
Agarda funksiyalar ( ) bir jinsli tenglamaning yechimlari bo’lsa, funksiya ham, bu yerda haqiqiy o’zgarmaslar, shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Xususiy hosilali ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
(3)
ko’rinishda yoziladi, bu yerda sohada berilgan haqiqiy funksiyalardir.
(3) tenglamaning barcha koeffitsientlari nolga teng bo’lgan nuqtalarda tenglama ikkinchi tartibli bo’lmay qoladi, ya’ni bu nuqtalarda (3) tenglamaning tartibi bo’ziladi. Bundan keyin biz (3) tenglama berilgan sohada uning tartibi ikkiga teng deb hisoblaymiz. (3) tenglamada bo’lganda alohida-alohida qo’shiluvchilar ishtirok etmay balki ularning yigindisi ishtirok etadi. Shu sababli ham umumiylikka ziyon yetkazmay hamma vaqt deb hisoblaymiz.
Eslatib utamizki, sohada aniqlangan va tartibgacha xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan haqiqiy funksiyalarning to’plamini orqali belgilaymiz.