11-mavzu. Berilgan almashtirishga qo’shma chiziqli almashtirish

11-mavzu. Berilgan almashtirishga qo’shma chiziqli almashtirish

Biz avvalgi mavzularda chiziqli fazoda bichiziqli formalar va chiziqli almashtirishlarni o‘rganib chiqdik. Ushbu mavzuda Yevklid fazosidagi bichiziqli formalar va chiziqli almashtirishlar orasidagi bog‘lanishni keltiramiz.

kompleks Yevklid fazosi va bichiziqli forma berilgan bo‘lsin. fazoda biror ortonormal bazis tanlab olamiz.
Agar
va
bo‘lsa, u holda bichiziqli formani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(11.1)
Biz bichiziqli formani biror skalyar ko‘paytma ko‘rinishida ifodalashga harakat qilamiz. Buning uchun uni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:




Endi chiziqli almashtirishni aniqlaymiz. Buning uchun berilgan vektorga


vektorni mos qo‘yamiz. Natijada matritsasi bichiziqli forma matritsasining transponirlanganiga teng bo‘lgan chiziqli almashtirish hosil bo‘ladi. Demak, biz quyidagi tenglikni hosil qildik:

bu yerda
Shunday qilib, Yevklid fazosida xar qanday bichiziqli formaga

shartni qanoatlantiruvchi chiziqli almashtirish to‘g‘ri keladi, va aksincha xar qanday chiziqli almashtirishga bichiziqli forma mos keladi.
Haqiqatdan ham, kabi aniqlangan funksiya bichiziqli formaning shartlarini qanoatlantiradi.





Endi chiziqli almashtirishga bichiziqli formani mos qo‘yish o‘zaro-bir qiymatli moslik ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik,
va
bo‘lsin. U holda ixtiyoriy vektor uchun

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ammo bu, ekanligini bildiradi, demak, Qaralayotgan vektorning ixtiyoriyligidan kelib chiqadi.
Xulosa sifatida ushbu teoremani keltiramiz.
11.1-teorema. Yevklid fazosida bichiziqli formalar bilan chiziqli almashtirishlar orasida aniqlangan

ko‘rinishida moslik bir qiymatli moslik bo‘ladi.
Bichiziqli formalar bilan chiziqli almashtirishlar orasida boshqa usul bilan ham moslik o‘rnatish mumkin. Masalan, ko‘rinishidagi moslik o‘rnatamiz. Buning uchun bichiziqli formaning berilgan bazisdagi ko‘rinishini quyidagicha ifodalaymiz:





Endi yuqoridagidan farqli ravishda, bu ifodani o‘zgaruvchilar bo‘yicha yig‘ib ixchamlasak, berilgan ifoda








ko‘rinishga keladi.
Endi vektorga


vektorni mos qo‘yuvchi chiziqli almashtirishni qaraymiz. almashtirishning matritsasi almashtirish matritsasini transpo-nirlab, xar bir elementining qo‘shmasini olish natijasida hosil bo‘ladi. Ya’ni,
bo‘lsa, .
Shuni ta’kidlab o‘tish joizki, ortogonal bo‘lmagan bazisda berilgan va almashtirishlarning matritsalari orasidagi munosabat ancha murakkab bo‘ladi_{.
11.2-ta’rif.} Kompleks Yevklid fazosida berilgan chiziqli almashtirishning qo‘shmasi deb,

shartni qanoatlantiruvchi almashtirishga aytiladi.
11.3-teorema. Yevklid fazosida xar qanday chiziqli almashtirishning yagona qo‘shma almashtirishi mavjud.
Isbot. 11.1-teoremaga ko‘ra xar qanday chiziqli chiziqli almashtirish shartni qanoatlantiruvchi bichiziqli formaga mos kelib, bu moslik bir qiymatlidir. Ikkinchi tomondan esa, bichiziqli formani ko‘rinishida ham ifoda-lash mumkin. Bundan esa,

tenglikka ega bo‘lamiz. 
11.4-xossa. Chiqiziqli almashtirishning qo‘shma almashtirishi chiziqli almashtirishlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari bilan quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
a)
b)
c)
d)
e)
Bu xossalarning ikkitasini isbotini keltiraylik.
Isbot. a) Ammo ikkinchi tomondan ta’rifiga muvofiq
Chiziqli almashtirishning mos bichiziqli forma bilan bir qiymatli aniqlanishini hisobga olib, bu tengliklarning o‘ng tomonlarini taqqoslasak kelib chiqadi.
b) Qo‘shma almashtirish ta’rifiga muvofiq ni vaqtincha bilan belgilaymiz. U holda bundan

tenglik kelib chiqadi. Ushbu tenglikda ni bilan, ni esa bilan almashtirsak

ifoda hosil bo‘ladi. Demak, va bo‘lganligi uchun 