1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi tо‘g‘risida tushuncha

2. Xarakteristik forma tushunchasi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning klassifikatsiyasi va kanonik ko’rinishi.
Faraz qilaylik (1) tenglamada ishtirok etayotgan funksiya o’zgaruvchilar bo’yicha uzluksiz birinchi tartibli hosilalarga ega bo’lsin. (1) tenglama nazariyasida haqiqiy o’zgaruvchilarga nisbatan ushbu
(4)
tartibli forma muhim rol o’ynaydi. Bu forma (1) tenglamaga mos bo’lgan xarakteristik forma deyiladi.
Ikkinchi tartibli kvazichiziqli
(5)
differensial tenglama uchun, bu yerda , (4) forma
(6)
kvadratik formadan iborat bo’ladi. Xususiy hosilali differensial tenglamalar, shu jumladan (5) ko’rinishdagi ikkinchi tartibli tenglama tekshirilayotganda, iloji boricha erkli o’zgaruvchilarni almashtirib, tenglamani soddaroq ko’rinishga keltirishga harakat qilinadi va ayrim hollarda bunga erishiladi. Shu maqsadda, avvalo (5) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni almashtirganda uning koeffitsientlari qanday qonun bilan o’zgarishini tekshiramiz. o’zgaruvchilar o’rniga , ya’ni

o’zgaruvchilarni kiritamiz. o’zgaruvchilarning biror atrofida bo’lsin va ushbu yakobian

deb hisoblaymiz. Bu shartga ko’ra o’zgaruvchilarni lar orqali ifodalashimiz mumkin, ya’ni . (5) tenglamaga kirgan funksiyaning hosilalarini yangi o’zgaruvchilarga nisbatan hisoblaymiz.


Bu ifodalarni (5) tenglamaga qo’yib, uni ushbu ko’rinishda yozib olamiz:
(7)
Bu yerda
(8)
esa, dan va birinchi tartibli hosilalar ishtirok etgan hadlardan tashqil topgan ifoda.
(5) tenglama tekshirilayotgan sohada aniq nuqtani olamiz va

belgilashlarni kiritamiz.
(8) formula nuqtada quyidagicha yoziladi:
(9)
(6) kvadratik formani nuqtada yozib olamiz:
(10)
Maxsus bo’lmagan ushbu
(11)
affin almashtirish natijasida (10) kvadratik forma
(12)
ko’rinishga keladi. Bu kvadratik formaning koeffitsientlari ham (9) formula bilan aniqlanadi.
Shunday qilib, (5) tenglamani nuqtada o’zgaruvchilar o’rniga yangi o’zgaruvchilar kiritib soddalashtirish uchun, shu nuqtada (10) kvadratik formani maxsus bo’lmagan (11) chiziqli almashtirish yordamida bilan soddalashtirish yetarlichadir.
Algebra kursidan ma’lumki, hamma vaqt shunday maxsus bo’lmagan (11) almashtirish mavjud bo’lib, uning yordami bilan (10) kvadratik forma quyidagi ko’rinishga olib kelinadi:
(13)
bu yerda koeffitsientlar 1,-1, 0 qiymatlarni qabul qiladi. Shu bilan birga musbat (manfiy) koeffitsientlar soni (inersiya indeksi) va nolga teng bo’lgan koeffitsientlar soni (forma defekti) affin invariantdir, ya’ni bu sonlar faqat (10) forma bilan aniqlanib, (11) almashtirishning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmaydi.
Bu narsa (5) differensial tenglama koeffitsientlarining nuqtada qabul qiladigan qiymatlariga qarab, klassifikatsiya qilish imkonini beradi.
Yuqorida aytilganlarga asosan (7) tenglama
(14)
ko’rinishda yoziladi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning aralash hosilalar qatnashmagan bunday ko’rinishi, odatda uning kanonik ko’rinishi deyiladi.
(5) tenglamani bitta nuqtada emas, hech bo’lmaganda nuqtaning biror kichik atrofida kanonik ko’rinishga olib keluvchi o’zgaruvchilarning almashtirishini (affin bo’lishi shartmas) topish mumkinmi degan savol tugiladi.
Bu savolga ijobiy javob faqat bo’lgandagina ma’lum. Bu holni alohida ko’rib chiqamiz.
Agar barcha yoki barcha bo’lsa, ya’ni forma mos ravishda musbat yoki manfiy aniqlangan bo’lsa, (5) tenglama nuqtada elliptik tipdagi yoki elliptik tenglama deyiladi.
Agar koeffitsientlardan bittasi manfiy, qolganlari musbat (yoki aksincha) bo’lsa, (5) tenglama nuqtada giperbolik tenglama deyiladi.
koeffitsientlardan tasi, , musbat qolgan tasi manfiy bo’lsa, (5) tenglama ultrogiperbolik tenglama deb ataladi.
Agar koeffitsientlardan bittasi nolga teng, qolganlari noldan farqli va bir xil ishorali bo’lsa, (5) tenglama nuqtada parabolik tenglama deyiladi.
Agar koeffitsientlardan kamida bittasi nolga teng bo’lsa, (5) tenglama keng ma’noda nuqtada parabolik tenglama deyiladi.
Agar (5) tenglama sohaning har bir nuqtasida elliptik, giperbolik yoki parabolik bo’lsa, u holda sohada mos ravishda elliptik, giperbolik yoki parabolik tipdagi tenglama deb ataladi.
Agar noldan farqli bo’lgan, bir xil ishorali haqiqiy sonlar mavjud bo’lib, barcha nuqtalar uchun ushbu

tengsizlik bajarilsa, sohada elliptik bo’lgan (5) tenglama tekis elliptik tenglama deyiladi.
Masalan, Trikomi nomi bilan yuritiladigan

tenglama yarim tekislikning har bir nuqtasida elliptik bo’lsa ham, bu yerda tekis elliptik emasdir.
sohaning turli qismida (5) tenglama har xil tipga tegishli bo’lsa, uni aralash tipdagi tenglama deyiladi.
Yuqorida keltirilgan Trikomi tenglamasi o’qning ixtiyoriy qismini o’z ichiga olgan ixtiyoriy sohada aralash tipdagi tenglamaga misol bo’ladi.
Yuqorida bayon qilingan (5) tenglamaning klassifikatsiyasini ekvivalent tarzda matritsaning xarakteristik sonlariga asoslanib ham berish mumkin. Buning uchun algebradan ma’lum bo’lgan (10) kvadratik formaning (13) kanonik ko’rinishidagi sonlar matritsaning xarakteristik sonlaridan iborat ekanligini eslash kifoya. Ma’lumki, simmetrik ( ) matritsaning barcha xarakteristik sonlari haqiqiy sonlardan iboratdir.
Eslatib utamiz, matritsaning xarakteristik sonlari ushbu

algebraik tenglamaning ildizlaridan iborat, bu yerda -birlik matritsa.
Demak, (5) tenglama berilgan sohaning ixtiyoriy nuqtasida matritsa xarakteristik sonlarining ishorasini aniqlab, (5) tenglamaning qaysi tipga tegishli ekanligini darhol bilib olish mumkin.
Bu yerda yana bir muhim tushuncha, xarakteristik sirtlar tushunchasini kiritib utamiz.
Ushbu

tenglama (5) differensial tenglama xarakterstikalarining tenglamasi deyiladi.
Agar funksiya xarakterstikalar tenglamasini qanoatlantirsa,

tenglik bilan aniqlanadigan sirt berilgan (5) differensial tenglamaning xarakteristik sirti yoki xarakterstikasi deyiladi.
O’zgaruvchilar soni ikkita bo’lganda xarakteristik egri chiziq haqida gap boradi.
Xarakterstikalar tenglamasi rasman bunday to’ziladi: (5) differensial tenglamaga mos bo’lgan (6) kvadratik formani to’zib, unda deb, hosil bo’lgan ifodani nolga tenglashtiramiz.
Faraz qilaylik, bo’lsin. (5) tenglamani soddalashtirish maqsadida o’zgaruvchilar o’rniga kiritilgan o’zgaruvchilarning bittasini, masalan, ni desak, u holda xarakterstikalar oilasini bilish, bu tenglamani soddaroq ko’rinishga keltirish imkonini beradi.