10. Laplas təNLİYİ

10. LAPLAS TƏNLİYİ

1. 
   Laplas tənliyi üçün əsas sərhəd məsələləri
   

Tutaq ki,  səthi ilə əhatə olunmuş bircinsli E cisimi verilmişdir. Bu cisimin müxtəlif nöqtələrində temperaturu ifadə edən u  u(x, y, z, t) funksiyası

u _ ²u _ ²u _ ²u

^t x²

y²

z²

(10.1)

istilikkeçirmə tənliyini ödəyir. Cisimdə istiliyin yayılması qərar- laşmış (proses stasionar) olarsa, başqa sözlə, cisimdə istiliyin yayılması zamandan asılı olmayıb yalnız cisimin nöqtələrinin

koordinatlarından asılıdırsa, onda

u _{ 0}

t

olar və (10.1) tənliyi

²u _ ²u _ ²u _

şəklinə düşər.

x² y² z^{2 0}

(10.2)

(10.2) tənliyi Laplas tənliyi, bu tənliyi ödəyən funksiya isə

harmonik funksiya adlanır. Qeyd etmək lazımdır ki,

u  (x²  y ² )  Bxy  Cx  Dy

və eləcə də

( A, B, C, D

istənilən sabitlərdir)

u  ¹ , r 

r

funksiyaları r  0 olan (x₀ , y₀ ) nöqtəsindən başqa hər yerdə

²u _ ²u _

x² y^{2 0}

Laplas tənliyini ödəyir. Laplas tənliyi ikitərtibli xətti bircinsli

diferensial tənlikdir.

Laplas tənliyi

x  r cos ,

y  r sin 

polyar koordinatlarda

^{1 }  ^u  <sup>1  2u

2 r  r r  </sup> r ²  ^{2  0}

 

şəklində,

x  r cos ,

y  r sin 

, z  z

silindrik koordinatlarda

^{1 }  ^u  ^{1  2u}

 ²u

^{r r  r r  } r ²

 ²

  0

z ²

 

şəklində,

x  r cos sin ,

y  r sin  sin ,

z  r cos

sferik

koordinatlarda isə

^{1 }  ₂ ^u  ^{1 }  ^u  ^{1 2u}




r ^{2 r  r r  } r ² sin ^{     } r ² sin²   ^{2  0}

   

şəklində olur.

Laplas tənliyinin həll etmək üçün əlavə şərtlər verilir. Laplas tənliyinə gətirilən aşağıdakı kimi sərhəd məsələlərinə baxılır.

Dirixle məsələsi. E cisiminin daxilində (10.2) tənliyini

ödəyən və onun  səthinin

M (x, y, z)

nöqtələrində verilmiş

f (M )

qiymətlərini alan u(M )  u(x, y, z)

funksiyasını tapmalı.

Bu məsələni aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

E oblastının daxilində harmonik və onun  səthi üzərində

u _ 

f (M )

sərhəd şərtini ödəyən u(M ) funksiyasını tapmalı.

Müstəvi oblastlara baxıldıqda u funksiyası ikidəyişənli

( u(x, y) və ya u(r, ) ) olur və Laplas tənliyi

²u _ ²u _

x²

və ya polyar koordinatlda

y ^{2 0}

(10.3)

^{1 }  ^u  ^{1 2u}

^{2 r  r r  } r ²  ^{2  0}

(10.4)

 

şəklində yazılır.

(10.3) tənliyi üçün Dirixle məsələsi aşağıdakı kimi qoyulur:

Qapalı  müstəvi əyrisinin daxilində (10.3) Laplas tənliyini və onun üzərində

u _ 

f (x, y)

sərhəd şərtini ödəyən u(x, y) funksiyasını tapmalı.

Birölçülü oblastlar üçün Laplas tənliyi

d ²u _




dx^{2 0}

kimi yazılır və onun həlli

u( x, y)  Ax  B

şəklində xətti funksiyadır. Bu halda,

[a, b]

parçası üçün Dirixle

məsələsi

u _xa  u_a və

^u xb ^{ u}b

sərhəd şərtləri vasitəsi ilə qoyu-

lur və onun həlli
_{u( x) } u_b  u_{a x } bu_a  au_b

funksiyasıdır.

b  a

b  a

Laplas tənliyi üçün Dirixle məsələsi qoyulduqda axtarılan funksiyanın oblastın sərhəd nöqtələrində qiymətləri verilir. Sərhəd məsələsi üçün oblastın sərhəd nöqtələrinin n normalı istiqa-

mətində

u

n^→

törəməsinin qiymətləri də verilə bilər. Bu halda,

Laplas tənliyi üçün ikinci sərhəd məsələsi alınır. Bu məsələ

Neyman məsələsi adlanır.

Neyman məsələsi. E oblastının daxilində (10.2) Laplas tənliyini və onun  səthi üzərində

u _ 

f (M )

sərhəd şərtini ödəyən u(M ) funksiyasını tapmalı.

Bu məsələlərdən bir qədər fərqli olan üçüncü sərhəd məsələsi də mövcuddur.

Üçüncü sərhəd məsələsi. E oblastının daxilində (10.2) Laplas tənliyini və onun  səthi üzərində

 _{u  } ^u 

 f (M )

 _


^ _n→ ^
sərhəd şərtini ödəyən u(M ) funksiyasını tapmalı.

Laplas tənliyi üçün qeyd olunan sərhəd məsələləri daxili sərhəd məsələləri adlanır.

2. Dairə üçün Dirixle məsələsinin həlli

Tutaq ki, Laplas tənliyi üçün belə bir Dirixle məsələsi qoyul- muşdur: mərkəzi koordinat başlanğıcında olan R radiuslu dairə daxilində harmonik və onun çevrəsi üzərində verilmiş qiyməti

alan u(x, y) funksiyasını tapmalı.

Məsələni həll etmək üçün müstəvi üzərində ( or ) polyar koordinat sistemini nəzərdən keçirək. Bu sistemdə qoyulmuş məsələni polyar koordinatlarla yazılmış (10.4) Laplas tənliyi üçün

belə ifadə etmək olar: olan və

0  r  R

dairəsində (10.4) tənliyinin həlli

u _{r  R}  u(R, )  f ( )

sərhəd şərtini ödəyən u(r, ) funksiyasını tapmalı.

(10.5)

Məsələni Furye üsulu ilə həll edək. (10.4) tənliyinin həllini

190