Xətti tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həlli

Xətti tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həlli
Tutaq ki, n məchullu n xətti tənliklər sistemi verilmişdir

(1)

və məchulların əmsallarından düzəlmiş əsas matrisin

(2)

determinantı sıfırdan fərqlidir.

(1) sistemini ona ekvivalent olan matris tənliyi ilə əvəz edək

AX = B , (3)

burada A – sistemin əsas matrisi, X və B isə sütun-matrislərdir

, .

A matrisinin  determinantı sıfırdan fərqli olduğu üçün onun tərs matrisi var. Tutaq ki, (1) sistemin həlli var, yəni (3) matris tənliyini eyniliyə çevirən X sütunu vardır. Bu halda (3) tənliyinin hər iki tərəfini soldan matrisinə vursaq, alarıq

. (4)

Buradan üç matrisin hasilinin xassəsini və (burada I vahid matrisidir) olduğunu nəzərə alsaq onda

.

Nəticədə, (4) düsurundan alarıq ki,

. (5)

Beləliklə, isbat etdik ki, (3) matris tənliyinin həlli varsa, onda o (5) münasibəti ilə birqiymətli təyin edilir.

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, (5) münasibəti ilə təyin edilən X sütunu doğrudan da (3) matris tənliyinin həllidir, yəni bu tənliyi eyniliyə çevirir. Doğrudan da, əgər X matrisi (5) münasibəti ilə təyin edilərsə, onda

.

Deməli, əgər A matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olarsa, onda (5) münasibəti ilə təyin edilən (3) matris tənliyinin yeganə həlli vardır.

Kronekker-Kapelli teoremi
(1)
(1) Sisteminin uyuşan olması üçün onun genişlənmiş matrisinin ranqının əsas matrisin ranqına bərabər olması ( r(A)  r(B) ) zəruri və kafidir. Belə ki,
1) rB rA r , r  min m,n olduqda (1) sistemi uyuşmayandır, 2) r(B)  r(A) olduqda (1) sistemi uyuşandır və bu halda, sistemin ranqı sistemdəki məchulların sayını aşmır, yəni r  n və r  n ola bilər:

a) rA rB n ( n -məchulların sayıdır) olduqda, sistemin həlli yeganədir və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır,

b) rA rB r r  minm,n olduqda isə sistemin həlli sonsuz saydadır və bu həll belə bir sxem üzrə hesablanır: r  min(m,n) olduqda, sistemin həllini tapmaq üçün onun əsas matrisinin r tərtibli hər hansı bir bazis minoruna uyğun r sayda tənliyindən yeni sistem qurulur. Həmin sistemdən, əmsalları bazis minorun elementləri olan, r sayda məchullar (bazis dəyişənləri) qalan n  r sayda məchullardan (sərbəst dəyişənlərdən) asılı şəkildə tapılır.