10 мавзу: To`g`ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida to`g`ri chiziq va u bilan bog`liq metrik masalalar

10 – мавзу: To`g`ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida to`g`ri chiziq va u bilan bog`liq metrik masalalar.
Режа:
1. Tekislikdagi ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak.
2. Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo‘lgan masofa

Tekislikdagi ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak.

Tekislikdagi to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu koordinatalar sistemasiga nisbatan
d₁ va d₂ to’g’ri chiziq tenglamalari
d₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0;
d₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0. (25.1)
bilan berilgan bo’lsin.
d₁ va d₂ to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi vektorlari mos ravishda
(-B₁,A₁), (-B₂,A₂) lardan iborat.

Ta’rif. Ikkita to’gri chiziq orasidagi burchak deb, bu to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi vektorlar orasidagi burchakka aytiladi . (45-chizma)

(25.2)
Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak (25.2) formula bilan hisoblanadi.
Xususiy holda d₁d₂ ₁
A₁A₂ + B₁B₂ = 0. (25.3)
bu shart ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik shartidir.
To’g’ri burchak dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan d₁ va d₂ to’g’ri chiziqlar o’zlarining burchak koeffitsientli tenglamalari bilan berilgan bo’lsin, ya’ni
d₁: y = k₁x + b₁;
d₂: y = k₂x + b₂. (25.4)
Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash formulasini chiqaraylik.
d₁ va d₂ to’g’ri chiziqlarni absissa o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil qilgan burchaklarini mos ravishda ₁ va ₂ bilan belgilaymiz (46-chizma), u holda
k ₁=tg₁, k₂=tg₂ va ( ^ )=,
=₂-₁

bundan
(25.6)
Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchakni hisoblash formulasi.
d₁d₂ bo’lgan holda , deyish mumkin. Bundan
yoki
(25.7)
(25.7) tenglik d_1, d₂ to’g’ri chiziqlarning perpendikulyarlik sharti. Agar d₁||d₂ bo’lsa ₂ - ₁ = 0 yoki k₂ - k₁ = 0
k₂ = k₁ (25.8)
bu esa d₁ ,d₂ to’g’ri chiziqlarning parallellik shartidir.
2-masala. d₁ va d₂ to’g’ri chiziqlar
d₁: x + 7y – 5 = 0,
d₂: 3x – 4y + 20 = 0.
tenglamalari bilan berilgan, ular orasidagi burchakni toping.
Yechish d₁ to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti , d₂ to’g’ri chiziqning burchak koeffitsienti , (25.6) formulaga ko’ra

Demak,  = 45°.

Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo‘lgan masofa

Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani hisoblash formulasini chiqaraylik.
Tekislikdagi d to’g’ri chiziq umumiy tenglamasi
d: Ax + By+C = 0 (26.1)
bilan berilgan bo’lsin. (-B,A) uning yo’naltiruvchi vektori.
Ta’rif. To’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektoriga perpendikulyar har qanday vektorni bu to’g’ri chiziqning normal vektori deyiladi.
(A,B) vektor d to’g’ri chiziqning normal vektori bo’ladi. Haqiqatan ham, va vektorlarning skalyar ko’paytmasi:
 = -BA +AB = 0   .
D emak, to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasidagi A,B sonlar shu tartibda olingan shu tenglama bilan aniqlangan to’g’ri chiziq normal vektorining koordinatalarini bildiradi.
(26.1) tenglama bilan aniqlanuvchi d to’g’ri chiziq va bu to’g’ri chiziqda yotmaydigan M₀(x₀,y₀) nuqta berilgan bo’lsin. M₀ nuqtadan d to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tushuramiz va uning asosini H bilan belgilaymiz (47-chizma).
vektor uzunligini M₀ nuqtadan d to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa deyiladi va (M₀,d) ko’rinishda yozamiz.
Agar M₀d bo’lsa, (M₀,d)=0 bo’ladi. M₀d bo’lsin, u holda (M₀,d)=| |.
vektor d to’g’ri chiziqning normal vektori bo’lgani
uchun vektorga kollinear.Vektorning skalyar ko’paytmasi ta’rifiga ko’ra
 = | || |cos( , )= (M₀,d)| |(1)
Shunday qilib, (26.2)
H nuqtaning koordinatalari H(x₁,y₁) bo’lsa,
=A(x₀-x₁)+B(y₀-y₁)=Ax₀+By₀-(Ax₁+By₁) u holda
Ax₁ + By₁ + C = O bundan C=-(Ax₁+By₁)
= Ax₀ + By₀ + C, ekanligini e’tiborga olib (26.2) formulani quyidagicha yozamiz.
(26.3)
Bu formula berilgan nuqtadan d to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani hisoblash formulasidir.
3-masala. Koordinatalar boshidan 3x-4y-2=0 to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofani toping.
(10.21) formuladan

Foydalaniladigan adabiyotlar ro’yxati

Asosiy adabiyotlar:
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм, Тошкент. «Ўқитувчи», 1996 й. (ўқув қўлланма)
2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар тўплами. 1 ва 2 қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997. (ўқув қўлланма)
Qo’shimcha adabiyotlar:
1. Baxvalov M. Analitik geometriyadan mashqlar to’plami. Toshkent UzMU, 2006 y. 2.K.X. Aбдуллаев и другие Геометрия 1-часть. Тошкент, «Ўқитувчи» 2002й.
3.K.X. Aбдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент, “Ўқитувчи” 2004 г.