12- mavzu Chiziqli operatorlar va ularning xossalari Reja

5- misol. bazisda chiziqli operator matritsasi berilgan boʻlsin. Yangi bazisdagi chiziqli operator matritsasini toping.
Yechish. Oʻtish matritsasi , unga teskari matritsa . Demak, yangi bazisda operatorning matritsasi quyidagi koʻrinishda boʻladi:

9- ta’rif. Agar chiziqli operator va son uchun
tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda son operatorning xos soni, unga mos vektorga esa operatorning xos vektori deb ataladi.
Yuqoridagi tenglikni operatorning matritsasidan foydalanib yozsak, u holda quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bundan .
Bizga maʻlumki bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim trivial yechimga ega. Chiziqli tenglamalar sistemasi trivial boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun esa uning koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinantning qiymati nolga teng boʻlishi zarur va etarli, yaʻni
(6)
determinant ga nisbatan darajali koʻphaddir. Bu koʻphad operatorning xarakteristik koʻphadi deb ataladi. (6) tenglama operatorning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Chiziqli operatorning xarakteristik koʻphadi bazisni tanlashga bogʻliq emas.
6- misol. operatorning xos soni va xos vektorlarini toping.
Yechish. Avval operatorning matritsasini tuzib olamiz:
.
Berilgan operatorga mos keluvchi bir jinsli tenglamalar sistemasi quyidagi koʻrinishni oladi:

Bundan xarakteristik koʻphadni topamiz:

Demak, xos son ekan. Bu sonni sistemaga qoʻysak,

Bundan . Demak, .
7- misol. Ushbu

matritsaning xos soni va xos vektorlarini toping.
Yechish. Xarakteristik tenglamani tuzib yechamiz:
;

xos son uchun xos vektor

tenglamalar sistemasidan aniqlanadi. , deb qabul qilib, ni hosil qilamiz. Xos vektor: . Shunga oʻxshash ; xos vektorlarni topamiz.
8- misol. Agar da chiziqli operator bazisda oʻzining matritsasi bilan berilgan boʻlsa, vektorning aksini toping.