12-Ma’ruza. Chiziqli operatoplar va ularning xossalari. Reja

12-Ma’ruza. Chiziqli operatoplar va ularning xossalari.
Reja:
1. Chiziqli operatorning ta’rifi va misollar.
2. Chiziqli operatorning matritsasi.
3.Chiziqli operator ustida arifmetik amallar.
4. Chiziqli operator fazosi.
5. Chiziqli operator ning o‘tish matritsasi.
.
Tayanch iboralar: Chiziqli operator Chiziqli operatorning matritsasi. . Chiziqli operator fazosi.
Chiziqli operator ning o‘tish matritsasi

1.Matrirsalar algebrasining asosiy tushunchalaridan biri- chiziqli operatorlar tushunchasidir. Faraz qliaylik, bizga va chiziqli fazolar berilgan bolsin.

Agar biror à qoida yoki qonun bo‘icha har bir elementga element mos qo‘yılgan bo‘lsa, u holda fazoni fazoga o‘tkazuvchi à (almashtirish, akslantirish) aniqlangan deyiladi va à ko‘rinishda belgilanadi.
Agar ixtiyoriy , uchun:
1) Ã(x+y)= Ã (x) (operatorning addetivligi);
2) Ã (x) = Ã (operatorning bir jinsliligi) munosabatlar o‘inli bo’lsa, u holda bu operator chiziqli operator deyiladi.
1-Misol. Ã: operator à qoida bilan aniqlangan bo‘lsin, u holda bu operatorning chiziqli operator ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Ma’lumki, va vector uchun . U holda elementga à oteratorin ta’sir ettirsak, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Bu esa à operatorning addetivligini bildiradi.
Endi operatorning addetivligini tekshiramiz. Ma’lumki, . U holda à .
Demak, Ã operator chiziqli operatordir.
element elementning aksi (obrazi), elementning o‘zi esa elementning asli (proobrazi) deyiladi.
bo‘lsa, u holda à operator fazoni o‘zini o‘ziga akslantiruvchi operator boÍladi.
Biz ko‘pincha, fazoning o‘zini o‘ziga akslantiruvchi operatorlarni o‘rganamiz.
Teorema-1.Har bir à chiziqli operatorga berilgan bazisda tartibli matritsa mos keladi va aksincha har bir tartibli matritsaga o‘lchovli chiziqli fazoni, o‘lchovlichiziqli fazoga akslantiruvchi à chiziqli oteratormos keladi.
Isbot. Faraz qilaylik, Ã chiziqli operator bo‘lsin.Agar vektorlar sistemasi fazoning bazisi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy elementni bu bazis elementlari orqali yozish mumkin:
(12.1)
Bu yerda biz à operatorning chiziqliligidan foydalanib, à ni quyidagicha yoza olamiz:
à (12.2)
Bu yerda har bir à elementlar o‘z navbatida fazoning elementlari bo‘lganligi sababli, bu elementlarni ham bazis orqali yozish mumkin:
à (12.3)
U holda (12.3) dan foydalanib, (12.2) ni quyidagicha yozish mumkin:
(12.4)
Ikkinchi tomondan à element ham bazis elementleri bo’yicha qyidagi yoyilmaga ega:
à (12.5)
Vektorning bitta bazis bo‘yicha yoyilmasi yagonaligidan (12.4) va (12.5) tengliklarning o‘ng tomonlarini tenglashtirib, quyidagini olamiz:

Yoki matritsa ko‘rinishida , bu yerda
, ,
à matritsa à operatorning bazisdagi matritsai, à matritsaning rangi esa à operatorning rangi deyiladi.
fazoning barcha vektorlarini nol vektorga akslantiruvchi operator nol operator, Ẽ tenglikni qanoatlantiruvchi operator birlik operator drb ataladi.
2-Misol. fazoda bazisda chiziqli operator matritsasi

berilgan bo’lsin. vektorning à aksini toping.
Yechish. .
Demak, .