12-ma’ruza. Маvzu: Aniq integral tadbiqlari. R e j a

₁2-MA’RUZA.Маvzu: Aniq integral tadbiqlari.
R E J A

1. 
   Yassi figuralar yuzlarini hisoblash.
   

Asosiy ibora va atamalar: Yassi figuralar.

1. 
   YAssi figuralar yuzlarini hisoblash.
   

a) Figuralar yuzlarini Dekart koordinatalari sistemasida hisoblash. Agar kesmada funktsiya  bo’lsa, u holda  egri chiziq,  o’qi  to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi

ga teng bo’ladi. Agar  kesmada  bo’lsa, u holda aniq integral

bo’ladi.
Absolyut kattaligiga ko’ra u tegishli trapetsiyaning yuziga teng:

b) , ( ) egri chiziqlar va , tog’ri chiziqlari bilan chegaralangan figura yuzi quyidagi formula bilan hisoblaniladi;

v) oqi boyicha kesmadagi , tog’ri chiziqlari bilan va , parametriк tenglama bilan berilgan chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi quyidagi formula bilan hisoblaniladi:

Bu yerda , , tenglamalaridan aniqlanadi.
g) Polyar koordinatalar sistemasida tenglama va , ikkita polyar radiuslari bilan chegaralangan egri chiziqli sektor yuzasi quyidagi formula bilan hisoblaniladi:

Agar  kesmada o’z ishorasini chekli son marta almashtirsa, u holda butun kesma bo’yicha olingan integrallar yig’indisiga ega bo’lamiz.  bo’lgan kesmalarda integral musbat bo’ladi (2-shakl).  bo’lgan kesmalarda integral manfiy bo’ladi (3-shakl).



x

0

b

a

y



 0



S





S



 0

y



a

0

x

b

2-shakl 3-shakl

Butun kesma bo’yicha olingan integral  o’qidan yuqorida va quyida yotuvchi yuzlarning tegishli algebraik yig’indisini beradi (4-shakl).

y




 0

S



+






+

a

0

x
-

0

x

b

a

 0

4-shakl 5-shakl

YUzlarning yig’indisini hosil qilish uchun ko’rsatilgan kesmalar bo’yicha olingan integralning absolyut kattaliklari yig’indisini topish yoki

integralni hisoblashni ko’raylik.
Agar  va  egri chiziqlar hamda  va  to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo’lsa (5-shakl), u holda shart bajarilgan figuraning yuzi quyidagiga teng:

Demak, aniq integralning geometrik ma’nosi egri chiziqli trapetsiyaning yuzidan iborat ekanligi kelib chiqadi.