12-mavzu: Ratsional funksiyalarni integrallash. Trigonometrik va irratsional funksiyalarni integrallash. Reja

Misollar. 1. Ushbu kasr sodda kasrlarga yoyilsin.
Yechilishi. Avvalo berilgan kasrning mahrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
.
So‘ng (1) munosabatdan foydalanib, berilgan kasrni quyidagi

ko‘rinishida yozamiz. Bu tenglikning har ikki tomonini ga ko‘paytirib topamiz:

.
ning bir hil darajalari oldidagi koeffitsientlarni tenglashtirish natijasida
,
,

tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Uni yechib topamiz: .
Natijada bo‘ladi.
2. Ushbu kasr sodda kasrlarga yoyilsin.
Yechilishi. Ravshanki, . (1) tenglikka ko‘ra

bo‘ladi. Keyingi tenglikdan

va

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu sistemani yechib , hamda

bo‘lishni topamiz.
3. Ushbu kasr sodda kasrlarga yoyilsin.
Yechilishi. (1) munosabatga ko‘ra bo‘ladi. Bu tenglikdan

va
,
,

bo‘lishni topamiz. Sistemaning yechimi bo‘lib,
.
4. Ushbu kasr sodda kasrlarga yoyilsin.
Yechilishi. (1) tenglikdan foydalanib topamiz:
.
Keyingi tenglikda mahrajdan qutilib, x ning oldidagi koeffitsientlarni tenglab ushbu
,
,
,
,

sistemaga kelamiz. Uni yechib topamiz: . Demak,
.

Ratsional funksiyalarni integrallash.
Ushbu ratsional funksiyani qaraylik, bunda va – ko‘phadlar. Agar da suratidagi ko‘phadning darajasi mahrajdagi ko‘phadning darajasidan katta bo‘lsa, uning suratini mahrajiga bo‘lib, butun ratsional funksiya hamda to‘g‘ri kasr yig‘indisi ko‘rinishda quyidagicha ifodalab olinadi:
.
U holda bo‘ladi, bunda –  butun ratsional funksiyaning integrali sifatida oson hisoblanadi, – to‘g‘ri kasrning integrali, integral ostidagi to‘g‘ri kasrni sodda kasrga yoyib hisoblanadi.