14- ma’ruza: tasodifiy miqdor tushunchasi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni. Uzluksiz tasodifiy miqdor. Zichlik funksiyasi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi. Reja

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar
Mumkin bo’lgan qiymatlari hech qanday intervalni butunlay to’ldirmaydigan chekli yoki cheksiz sonlar ketma-ketligi tashkil etadigan diskret tasodifiy miqdorlardan tashqari mumkin bo’lgan qiymatlari biror intervalni tashkil etadigan tasodifiy miqdorlar ham tez-tez uchraydi. Bunday tasodifiy miqdorga to’g’ri texnolog jarayon amalga oshirilganda detalning ba'zi o’lchamlarining nomlangan chetlanishi misol bo’ladi. Bunday tasodifiy midorlar p(x) ehtimollarning taqsimot qonuni yordamida berilishi mumkin emas. Biroq ularni ehtimollar taqsimoti funksiyasi F(x) yordamida berish mumkin. Bu funksiya xuddi diskret tasodifiy miqdor holidagidek aniqlanadi:
F(x)+R( Shunday qilib, bu erda ham F(x) funksiya butun son o’qida aniqlangan va uning har bir x nuqtadagi siymati tasodifiy miqdorning x dan kichik qiymat qabul qilish ehtimoliga teng.
(19) formula hamda 1 va 2 xossalar istalgan tasodifiy miqdorning taqsimot funqtsiyasi uchun o’rinlidir. Bu fakt diskret miqdor bo’lgan holdagi kabi isbot qilinadi.
Agar ehtimollarning taqsimot funksiyasi (17) formula bo’yicha berilgan tasodifiy miqdor uchun manfiy bo’lmagan butun son o’qida bo’lakli-uzliksiz va x ning har qanday qiymatida
F(х)= (18)
tenglikni qanoatlantiradigan (х) funksiya mavjud bo’lsa, tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi. (х) funksiya ehtimollar taqsimotining zichligi, yoki qissacha, taqsimot zichligi deyiladi. Agar x1Р(х₁< <х₂)=F(х₂)-F(х₁)= (t)dt- (t)dt= (t)dt. (19)
Integralning yuz sifatidagi geometrik ma'nosiga asoslanib, х₁< <х₂ tengsizliklarning bajarilish ehtimoli asosi [х₁,х₂] bo’lgan va yuqoridan у= (х) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng deyish mumkin (4-chizma)
F(+)=Р(<+)=1 ва (20)
formulaga ko’ra F(+)= bo’lgani uchun
(t)dt=1 (21)
(18) formuladan foydanalib va taqsimot zichligi o’(x) ni uzluksiz deb F'(x) ni integralning o’zgaruvchi yuqori chegara bo’yicha hosilasi sifatida topamiz:
F'(х)= (t)dt)= (х) (22)
Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun F(x) taqsimot funksiyasi (х) funksiya uzluksiz bo’lgan istalgan x nuqtada uzluksiz ekanligini qayd qilamiz. Bu F(x) funksiya ana shu nuqtalarda differentsiallanuvchiligidan kelib chiqadi (VI bob, 1-§, 5-§ punktga qarang).
(19) formula asosida х₁=х ,х₂=х+х deb, quyidagiga ega bo’lamiz: Р(х<= <х+х)=F(х+х)-F(х)=F(х).
F(х) funksiya uzluksiz bo’lgani uchun lim F(х)=0.
Demak,
Р(х<= <х+х)= Р( ‑х)=0
Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning ixtiyoriy aniq x qiymatni qabul qilish ehtimoli nolga teng.
Bu erdan x₁ 2, x₁< x₂, x₁ x₂ tengsizliklarning har birining bajarilishidan iborat hodisalar bir xil ehtimolga egaligi kelib chiqadi, ya'ni
Р(х_1 <х₂)=Р(х₁< x₂)=Р(х_1 х₂)=Р(х₁< <х₂).
Haqiqatanam ham, masalan
Р(х_1 <х₂)=Р( =х₁)+ Р(х₁< <х₂)= Р(х₁< <х₂),
Chunki Р( =х₁)=0.
Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi quyidagicha berilgan bo’lsin.

(х) funksiyaning grafigi 5-rasmda keltirilgan. tasodifiy misdorning
23 tengsizliklarni qanoatlantiruvchi qiymat qabul qilishi ehtimoli-ni toping. Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
Yechilishi. (19) formuladan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz



(18) formulaga ko’ra berilgan tasodifiy miqdor uchun F(x) taqsimot funksiyasini topamiz:
Аgar - Агар 0bo’lsa, u holda

Agar x>4 bo’lsa, u holda

Shunday qilib,
F(x) funksiyaning grafigi 6-chizmada tasvirlangan.
Navbatdagi ikki punkt uzluksiz tasodifiy miqdorlarning amalda tez-tez uchrab turadigan taqsimotlari tekis va normal taqsimotlarga bag’ishlangan.