1-ta’rif. funksiya grafigidagi nuqta shu grafik bo‘ylab cheksiz uzoqlashganda, undan biror to‘g‘ri chiziqqacha masofa no‘lga intilsa, bu to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi.
bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining
vertikal asimptotasi bo‘ladi.
yoki
limitlar mavjud bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining og‘ma asimptotasi bo‘ladi. bo‘lsa, gorizantal asimptota bo‘ladi.
1-misol. Gauss egri chizig‘i deb ataluvchi funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini aniqlang.
Yechish. Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni topamiz:
Ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirib, ikkinchi tur kritik nuqtalarni topamiz:
Bular ikkinchi tur kritik nuqtalar bo‘lib, sonlar o‘qini
oraliqlarga ajratadi.
oraliqlarda bo‘lib,
oraliqda bo‘ladi.
Demak,
oraliqlarda funksiya grafigi botiq,
oraliqda funksiya grafigi qavariq bo‘lib,
nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini musbatdan manfiyga, nuqtadan o‘tishda manfiydan musbatga o‘zgartiradi. Bu ikkala holda ham egilish bo‘ladi:
.
Yuqoridagilarga asosan funksiya grafigini yasaymiz.
Funksiyani tekshirishning umumiy rejasi.
Funksiyani hosila yordamida tekshirishni hisobga olib, funksiyani tekshirishning quyidagi umumiy rejasini tavsiya etamiz:
1) funksiyaning aniqlanish sohasini topish hamda argumentning aniqlanish sohasi chetlariga intilganda funksiya o‘zgarishini tekshirish;
funksiyaning juft-toqligini tekshirish;
funksiyaning davriyligini aniqlash;
funksiyaning uzluksizligi, uzilishini tekshirish;
funksiyaning kritik nuqtalarini aniqlash;
funksiyaning monotonlik oraliqlarini va ekstremumini tekshirish;
ikkinchi tur kritik nuqtalarni topish;
funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini aniqlash;
funksiya grafigining asimtotalarini tekshirish;
imkoniyati bo‘lsa funksiya grafigining koordinat o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlash;
yuqoridagi aniqlangan xususiyatlarni hisobga olib, funksiya grafigini yasash.
2-misol. funksiyani tekshiring.
Yechish. Funksiyani tekshirishning umumiy rejasidan foydalanamiz:
1) funksiya maxraji no‘lga aylanadigan nuqtalardan boshqa hamma nuqtalarda aniqlangan. Maxraj nuqtalarda no‘lga teng, demak, funksiyaning aniqlanish sohasi oraliqlardan iborat. Aniqlanish oraliqlarining chetlarida funksiyaning o‘zgarishini tekshiramiz:
;
2)
bo‘lganligi uchun toq funksiya;
3) funksiya tenglikni qanoatlantirmaydi, demak, davriy emas;
funksiya nuqtalarda uzilishga ega;
kritik nuqtalarni topamiz:
.
Bundan tashqari nuqtalarda mavjud emas. Demak, kritik nuqtalar:
bo‘ladi;
6)
oraliqlarning har birida ning ishorasini tekshiramiz;
oraliqlarda funksiya hosilasi musbat, ya’ni funksiya bu oraliqlarda o‘suvchi; oraliqlarda ya’ni kamayuvchi nuqtada funksiya maksimumga, nuqtada minimumga ega bo‘ladi. kritik nuqtadan o‘tishda ishorasi o‘zgarmaydi, demak bu nuqtada ekstremum yo‘q.
;
7) ikkinchi tur kritik nuqtalarni topamiz:
nuqtalarda ikkinchi tartibli hosila mavjud emas. Demak ikkinchi tur kritik nuqtalar
bo‘ladi ;
8) oraliqlarda ning ishorasini tekshiramiz: bo‘lsin.
xuddi shunday
bo‘lib, oraliqlarda funksiya grafigi qavariq, oraliqlarda funksiya grafigi botiq bo‘ladi. Ikkinchi tartibli hosila har bir ikkinchi tur kritik nuqtada ishorasini o‘zgartiradi, lekin da funksiya uzilishga ega. Shuning uchun faqat nuqtada funksiya grafigi egilishga ega bo‘ladi
funksiya grafigining asimptotalarini topamiz:
.
Demak, funksiya grafigining vertikal asimgtotalari bo‘ladi.
Shunday qilib, og‘ma asimptota bo‘ladi;
10) bo‘lganda bo‘lib, funksiya grafigi koordinatalar boshidan o‘tadi;
11) yuqoridagi tekshirishga asosan, funksiya grafigini yasaymiz. (2-chizma).
