14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari

3-Misol. Limitni hisoblang:


6-Teorema (Lopitalning ikkinchi qoidasi). 
va funksiyalar nuqtaning 
o‟zi kirmagan biror ̇
atrofida

va

hosilalrga ega va bu atrofda va 

funksiyalar nolga aylanmasin. Agar

va

va hosilalarning

nisbati 
nuqtada chekli yoki cheksiz limitga ega bo„lsa, u
holda bu funksiaylarning nisbati ham bu nuqtada limitga ega va
tenglik o„rinli bo„ladi.◄ 
Bu yerda ham 

yoki bo„lgandagi limitlarni qarash mumkin.

4-Misol. Limitni hisoblang:

(

)

Lopital qoidasini: 

---

---

1.

va
bo„lganda

limitni hisoblashga 

qo„llash mumkin.

► Bu holda ko„paytmani

yoki
ko„rinishda yozib o„ng tomoniga Lopital qoidasini qo„llash mumkin. ◄ 

5-Misol. 

2.

va
bo„lganda

limitni hisoblashga 

qo„llash mumkin.

► Bu holda ayirmani yana

nisbat shaklida ifodalash kerak va so„ngra Lopital qoidasini qo„llash kerak. ◄ 


6-Misol.

(

)
( )

(

)

3.
limitni hisoblashda, quyidagi uchta hollardan biri bo„lganda 
Lopital qoidasini qo„llash mumkin:
i)

,

; 

ii)

,

;

iii)

,

.

►

deb olamiz, uni logarifmlab

tenglikka ega bo„lamiz. Tenglikning ikkala tomonida limitga o„tib hisoblaymiz:
Bu limitni hisoblashda i), ii), iii) uchta holning har birida 1. holda qaralganlarning mosi
tanlanadi. 
Faraz qilaylik, biz 
limitni topdik. U holda

ya‟ni

◄ 


7-Misol. Limitni toping
.

►
deb olamiz; u holda 

. Bu yerdan

---

---

(

)

bundan esa 

◄ 

7-Teorema.
va funksiyalar 
1)
o„zgaruvchining mutlaq qiymati bo„yicha yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan; 

2)

yoki

va
; 

3)
o„zgaruvchining mutlaq qiymati bo„yicha yetarlicha katta qiymatlarida

va

hosilalar mavjud; 

4) funksiyalar hosilalarining (chekli yoki cheksiz)

limiti mavjud. U holda funksiyalar nisbatining ham limiti mavjud bo„ladi va
► Teoremaning to„g„riligiga ishonch hosil qilish uchun

tenglik orqali yangi

o„zgartuvchi kiritib, 5.14 va 5.15-Teoremalarning natijalaridan foydalanish kerak.◄