14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari
Yüklə 84,46 Kb.
|
|
Chekli ayirmalar formulasi
3-Teorema (Lagranj). Agar funksiya kesmada uzluksiz, oraliqda differensiallanuvchi bo„lsa, u holda oraliqda kamida bitta shunday nuqta topiladiki, bu nuqta uchun formula o„rinli bo„ladi. ► (1)
tenglik bilan kesmada aniqlangan yordamchi funksiyani kiritamiz. Bu funksiya kesmada Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatdan ham, u kesmada uzluksiz, chunki (1) tenglikning o„ng tomonidagi har bir qo„shiluvchi uzluksiz. funksiyani aniqlagan har bir qo„shiluvchi oraliqda differensiallanuvchi bo„lganligi tufayli funksiyaning o„zi ham bu oraliqda differensiallanuvchi. Nihoyat kesmaning chetki nuqtalarida teng qiymatlarni qabul qiladi. Roll teoremasiga ko„ra, oraliqda hosila nolga aylanadigan kamida bitta nuqta mavjud: . Bu tenglikni (1) orqali ifodalaymiz Bundan esa ◄ Roll teoremasi Lagranj teoremasining bo„lgandagi xususiy holi. Endi Lagranj teoremasining geometrik talqinini ko„raylik. 6-rasmda 𝑦 𝑓 𝑥
𝑥 𝑂 𝑎 𝑏 4-rasm 5-rasm 𝑓 𝑏
𝑎
𝑥
𝑂 nisbat
hosila esa egri chiziqqa abssissasi bo„lgan nuqtada o„tkazilgan urinmaning burchak koeffisiyenti. Shunday qilib, ixtiyoriy nuqtasida urinma o„tkazish mumkin bo„lgan egri chiziqning ̌
o„tkazilgan urinma vatarga parallel bo„ladi. Isbotlangan formula, yoki (2)
Lagranj formulasi yoki chekli ayirmalar formulasi deb yuritiladi.
ko'rinishda ifodalash ba‟zan qulay bo„ladi, bu yerda ushbu tengsizlikni qanoatlantiruvchi qandaydir son. U holda (2) Lagranj formulasi ( ) (3) shaklni oladi. va o„rniga mos ravishda va olib, Lagranj formulasini (4) ko„rinishda yozamiz. Bu tenglik argumentning ixtiyoriy orttirmasida funksiyaning orttirmasi uchun taqribiy tenglik o„rniga aniq ifodani beradi. (4) formuladagi umuman olganda noma‟lum son. Yüklə 84,46 Kb. Dostları ilə paylaş:
|