14-ma’ruza.
Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital
qoidasi. Teylor va Makloren formulalari.
Ma’ruza rejasi:
1.
Hosilaning nollari haqida teoremalar.
2
. Chekli ayirmalar formulasi.
3
. Aniqmasliklarni ochishning Lopital qoidasi.
4
. Differensiallanuvchi funksiya uchun Teylor formulasi.
5
. Makloren formulasi.
6
. Ba’zi elementar funksiyalarni Makloren formulasi bo’yicha yoyish.
Hosilaning nollari haqida teoremalar
1-Teorema (Ferma).
funksiya biror oraliqda aniqlangan va bu oraliqning
ichki
nuqtasida eng katta yoki eng kichik qiymatini qabul qilsin.
Agar bu nuqtada
chekli
hosila mavjud bo„lsa, u holda
bo„ladi.
► Aniqlik uchun funksiya nuqtada eng katta qiymatni qabul qiladi deb faraz
qilamiz.
U holda barcha
nuqtalar uchun tengsizlik o„rinli bo„ladi.
deb olsak, Hosilaning ta‟rifiga
va teorema shartiga
ko„ra
chekli limit mavjud. Agar
bo„lsa, u holda va
tengsizlikda limitga o„tish haqidagi teoremaga ko„ra
tengsizlik o„rinli bo„ladi. Agar bo„lsa, u holda va
bu yerda ham tengsizlikda limitga o„tish haqidagi teoremaga ko„ra
Nuqtadagi bir tomonlama va ikki tomonlama limitlar haqidagi Teoremaga ko„ra so„ngi
uchta munosabatdan
yoki
tenglikka ega bo„lamiz. Funksiyaning eng kichik qiymati bo„lgan hol
ham xuddi shu singari isbotlanadi. ◄
hosilaning nolga aylanishi
funksiya grafigiga nuqtada
o„tkazilgan urinma o„qqa parallel bo„lishini anglatadi (1-rasm).
Teoremaning
shartida
nuqtaning ichki nuqta ekanligi muhim shart. Teorema isbotida
bu shartga
ko„ra
nuqtadan ham chapdagi, ham o„ngdagi nuqtalarni qarash imkonini berdi.
Bu shartsiz teorema noto„g„ri ham bo„lishi mumkin. Haqiqatdan ham, agar funksiya
eng katta qiymatga oraliqning chetki nuqtalaridan birida erishsa, hosila (agar u mavjud
bo„lsa) nolga aylanmasligi ham mumkin (2-rasm).
Endi fransuz matematigi M.Roll nomi bilan
ataladigan sodda ammo muhim
teoremani keltiramiz.
