Teoremaning tuzilishi haqida umumiy tushuncha

1. 
   

Teoremaning tuzilishi haqida umumiy tushuncha. O`rta maktab kursidan ma’lumki, matematikani o`rganishda teoremalar deb ataluvchi so`zlar bilan ishlashga to`g`ri keladi. Tushunchalarning asosiy bo`lmagan va ta’riflarga kiritilmagan xossalari, odatda isbotlanadi. Tushunchalarning isbot qilinadigan xossalari teoremalar deyiladi.
Ular har xil ko`rinishda ifodalanishidan qat’iy nazar, isbotlashni talab qiladigan fikrlardir. Shunday qilib, teorema-bu xossadan xossaning kelib chiqishi haqidagi fikr. Bu fikrning rostligi isbotlash yo`li bilan aniqlanadi.
Isbotlashni amalga oshirish uchun mulohaza, predikat va kvantorlarga asoslangan teoremalarni tuzilishini bilish lozim. Quyidagi teoremani qaraylik: “Agar nuqta kesmaning o`rta perpendikularida yotsa, u holda nuqta kesmaning uchlaridan teng uzoqlikda yotadi.”
Bunda “ nuqta kesmaning o`rta perpenikularida yotadi” ga’i teoremaning sharti, “nuqta kesmaning uchlaridan teng uzoqlikda yotadi” ga’i teoremaning xulosasi hisoblanadi.
Teoremaning sharti va xulosasi tekislikdagi barcha nuqtalarning R to’plamida aniqlangan predikatdan iborat. Bu predikatlarni mos ravishda va deb belgilaymiz. U holda teorema implikatsiya ko`rinishda belgilanib, umumiylik kvantorini qo`llab quyidagi ko`rinishda yoziladi:
.
Bundan ko`rinadiki, teorema tuzilishi uch qismdan iborat bo`ladi.
Teorema sharti: predikat tekislikdagi barcha nuqtalarning R to’plamida berilgan; teoremaning xulosasi: predikat tekislikdagi barcha nuqtalarning R to’plamida berilgan; tushuntirish qismida teoremada so`z yuritilayotgan ob’yektlar to’plami tasvirlanadi.
We write this in symbols as _.
Bu qism simvolik tarzda ko`rinishda yoziladi. <sup>1</sup>
Tushuntirish qismini teorema mazmunidan ham bilib olish mumkin. Ixtiyoriy teoremani so`zlar yordamida ifodalaganda “Agar …bo’lsa, u holda …bo’ladi” so`zlari ishlatiladi, formula quyidagi
(1)
ko`rinishda ifodalandi. Bu yerda - va predikatlar berilgan to’plam. Agar teorema (1) ko`rinishda berilgan bo`lsa, uning sharti va xulosasi implikatsiya tashkil etadi. Shu sababli teorema xulosasi predikat teoremaning sharti uchun yetarli sharti, shart esa teoremaning xulosasi uchun zaruriy shart deyiladi. Quyidagi teoremani qaraylik:
“Agar to`rtburchak romb bo`lsa, u holda uning diagonallari perpendikular bo`ladi”.
Bu teoremaga (1) formulani tadbiq etamiz. - tekislikdagi barcha to`rtburchaklar to’plami, tekislikdagi ixtiyoriy to`rtburchak, : “ to`rtburchak –romb”, : “ to`rtburchak diagonallari o`zaro perpendikular”.
Zaruriy shart: “to`rtburchak romb bo`lishi uchun uning diagonallari perpendikular bo`lishi zarur.”
Yetarli shart: “to`rtburchak diagonallari perpendikulyar bo`lishi uchun uning romb bo`lishi yetarli.”
(1) teoremaga ko`ra bir nechta yangi teoremalarni hosil qilish mumkin. (1) teoremaning sharti va xulosasi o`rni almashsa, berilgan teoremaga teskari teorema hosil bo`ladi.
(2)

Masalan,
Teorema: “ Agar natural son raqamlari yig`indisi 3 ga bo`linsa, shu sonning o`zi ham 3 ga bo`linadi.”

Teskari teorema: “ Agar natural son 3 ga bo`linsa, uning raqamlarini yig`indisi ham 3 ga bo`linadi.”
Teskari teorema ham to`g`ri bo`lgani uchun ikkita teoremani bittaga birlashtirish mumkin. “ Natural son 3 ga bo`linishi uchun uning raqamlarini yig`indisi 3 ga bo`linishi zarur va yetarli.” Bu holda teoremani ko`rinishda ifodalash mumkin.
Teskari teorema hamma vaqt ham to`g`ri bo`lmaydi.
Agar teoremaning sharti va xulosasi ularning inkorlari bilan almashtirilsa, berilgan teoremaga qarama-qarshi teorema hosil bo`ladi.
(3)
(1)- teoremaga qarama-qarshi teorema: “Agar nuqta kesmaning o`rta perpendikularida yotmasa, u holda nuqta kesmaning uchlaridan teng
uzoqlikda yotmaydi.” va bu teorema rostdir.
(4)
ko`rinishidagi teorema teskari teoremaga qarama-qarshi teorema deyiladi.
(2)teskari teoremaga qarama-qarshi teorema: “Agar natural son 3 ga bo`linmasa, uning raqamlari yig`indisi ham 3 ga bo`linmaydi.” bu teorema rostdir. Endi teoremalarni isbotlash usullarini ko`rsatamiz.
Matematik isbotlar. Deduktiv mulohazalar
teoremani isbotlash- bu har doim xossa bajarilganda, xossa ham bajarilishini mantiqiy yo`l bilan ko`rsatishdir.
Matematikada isbotlash ko`rgazmali va tajribalarga biror-bir yo`naltirishsiz logika qoidalari bo`yicha o`tkaziladi.
Isbotlash asosida mulohaza-logik (mantiqiy) o’eratsiya yotadi. Bu o’eratsiya natijasida ma’nosiga ko`ra o`zaro bog`langan yoki bir necha jumlalardan yangi (berilgan bilimlarga nisbatan) bilimlarni o`z ichiga olgan jumla hosil bo`ladi. Masalan, boshlang`ich sinf o`quvchisining 6 va 7 sonlari orasidagi «kichik» munosabatini aniqlashdagi mulohazasini ko`raylik. O`quvchi bunday deydi: « 6<7 chunki, 6 sanoqda 7 dan oldin keladi.»
Hosil qilingan bu mulohazada xulosa qanday faktlarga asoslanganini aniqlaylik. Asoslar ikkita: agar soni sanoqda sonidan oldin aytilsa, u holda bo`ladi (ixtiyoriy va natural sonlar uchun).
6 sanoqda 7 dan oldin keladi.
Birinchi jumla umumiy xarakterga ega, chunki unda jumla ixtiyoriy va natural sonlar uchun o`rinli bo`lishini tasdiqlovchi umumiylik kvantori mavjud, shuning uchun umumiy asos deyiladi.
Ikkinchi jumla konkret 6 va 7 sonlariga tegishli, xususiy hollarni ifodalaydi, shunga ko`ra u xususiy asos deyiladi.
Ikki asosdan esa yangi mulohaza (6<7) keltirib chiqariladi, u xulosa deyiladi.
Umuman har qanday mulohazada ham asos, ham xulosa bor. Asos va xulosa orasida ma’lum bog`lanish mavjud, bu bog`lanish yordamida ular mulohazani tashkil etadi.
Asos bilan xulosa orasidagi kelib chiqishlik munosabati o`rinli bo`ladigan mulohaza deduktiv mulohaza deyiladi.
Boshqacha aytganda, agar mulohaza yordamida rost asosdan yolg`on xulosa chiqarish mumkin bo`lmasa, u holda bu mulohaza deduktiv bo`ladi. Aks holda deduktivmas hisoblanadi.
Mulohaza deduktiv bo`ladigan shartlarni aniqlaymiz. Buning uchun misollarga murojaat qilamiz.
1-misol. Ushbu mulohaza berilgan, unda: umumiy asos: «agar natural son 6 ga karrali bo`lsa u 3 ga karrali bo`ladi»; xulosa: «18 soni 3 ga karrali».
Bu mulohazada asos ham, xulosa ham rost. Uni deduktiv deb taxmin qilish mumkin.
2-misol. Ushbu mulohaza berilgan, unda: