14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari

4-Teorema (Koshi). Agar
va funksiyalar 
1)
kesmada uzluksiz; 

2)
oraliqda differensiallanuvchi; 

3)
oraliqda hosila

bo„lsa,
u holda

oraliqda kamida bitta shunday nuqta topiladiki, bu nuqta uchun 

(5)
tenglik o„rinli bo„ladi va bu u Koshi formulasi deb ataladi. 

► Teorema shartidan , aks holda va teng bo„ladi va Roll

teoremasiga ko„ra
hosila oraliqning kamida bitta nuqtasida nolga aylanadi, 

bu esa Koshi teoremasining 3) shartiga ziddir. Shunday qilib (5) tenglik ma‟noga ega.

Endi uning 
oraliqdan olingan birorta uchun o„rinli ekanligini ko„rsatamiz.
( )
(6)

𝑓 𝑎
𝑓 𝑏

𝐴
𝐵 
𝐶
𝐷

𝐷

𝑂 

𝑎
𝑐

𝑐

𝑏 𝑥 

𝑦
6-rasm

---

---

yordamchi funksiyani tuzamiz. Bu funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini

qanoatlantiradi. Haqiqatdan ham: 
1)
funksiya kesmada uzluksiz, chunki va funksiyalar bu 

kesmada uzluksiz;

2)

funksiya oraliqda differensiallanuvchi, chunki (5) tenglikning

o„ng tomonidagi har bir qo„shiluvchi bu oraliqda differensiallanuvchi; 
3) bevosita o„rniga qo„yib ekanligiga amin bo„lamiz.
Bu funksiyaga Roll teoremasini qo„llab, va nuqtalar oralig„ida

tenglikni qanoatlantiruvchi

nuqta mavjud deb xulosa chiqaramiz. (6) tenglikka ko„ra 

shuning uchun

So„ngi tenglikning ikkala tomonini

noldan farqli hosilaga bo„lib 

talab qilingan tenglikni hosil qildik. ◄ 

Lagranj teoremasi Koshi teoremasining xususiy holi, chunki Koshi teoremasida 
deb olinsa Lagranj teoremasi hosil bo„ladi.

Mulohaza. Roll, Lagranj va Koshi teoremalarida u yoki bu tenglik o„rinli bo„ladigan
qandaydir 
“o„rta nuqta” xususida so„z boradi. Shuning uchun bu teoremalar
guruhini differensial hisobning o„rta qiymatlar haqidai teoremalari deb nomlash 
mumkin.