14-ma’ruza topshirig’i Nazorat savollari

14-ma’ruza topshirig’i
Nazorat savollari
1.Laplas tenglamasi uchun to’rtburchakda Dirixle masalasini Fure usuli orqali yechish.
Ta’rif. Laplas tenglamasiga qo’yilgan 1-chegaraviy masalaga Dirixle masalasi va 2-chegaraviy masalaga esa Neyman masalasi deyiladi.
Bizga kompleks o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasidan ma’lumki, yopiq silliq sirt tekislik yoko fazonni iikita o’zaro kesishmaydigan sohalarga ajratadi.
Yuqorida ta’riflangan masalalarda qaralayotgan soha sirtning ichki yoki tashqi qismidan iboratligiga bog’liq ravishda qaralayotgan chegaraviy masalaga ichki yoki tashqi chegaraviy masala deyiladi.
Keyinchalik ko’p ishlatish nazarda tutilgani uchun markazi koordinatalar boshida va radiusi  ga teng sfera bilan chegaralangan sohalar uchun Laplas tenglamasiga qo’yilgan Dirixle va Neymanning ichki va tashqi masalalarining matematik ifodalarini keltiramiz.
3-Ta’rif. a) doirada ( doira tashqarisida) (1) Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi va uning chegarasi sferada berilgan qiymatni qabul qiluvchi funksiyani topish masalaiga doira uchun Dirixlening ichki (tashqi) masalasi deyilad).
b) a) doirada ( doira tashqarisida) (1) Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi va uning chegarasi sferada normal bo’yicha hosilasi berilgan qiymatni qabul qiluvchi funksiyani topish masalaiga doira uchun Neymanning ichki (tashqi) masalasi deyilad.
Xuddi shu kabi Puasson tenglamasi uchun Dirixle va Neymanning ichki va tashqi masalalarini ta’riflanadi. Bunda faqat (1) tenglama o’rnida (2) Puasson tenglamasini qarash yetarli.
Laplas yoki Puasson tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni yechishda Dekart koordinatalar siatemsi o’rniga boshqa biror egri chiziqli korrdinatalar sistemasini qarash, masalan qutb, sferik yoki silindrik koordinatalar sistemasini qarash biroz qulay bo’ladi. Shu maqsadda Laplas tenglamasining ushbu egri chiziqli koordinatalardagi ko’rinishini topamiz.


Qutb koordinatalar sistemasida yoki Laplas tenglamasining ko’rinishi.

Matematik analiz kursidan ma’lumki, Dekart koordinatalar sistemasidan egri chiziqli qutb koordinatalar sistemasiga o’tish formulalari

(3)
ko’rinishfa ega. Bunda - koordinata boshidan berilgan nuqtagacha masofa bo’lib, uni odatda nuqtaning radius vektori deyiladi, - esa OX o’qining musbat yo’nalishi bilan nuqtaning radius vektori orasidagi (soat strelkasi harakatiga teskari yo’nalishda aniqlangan) burchak bo’lib, uni odatda berilgan nuqtaning bosh argumenti deyiladi.

deb belgilaymiz.
Aytilganlarga asosan bo’lganda (3) o’zaro bir qiymatli akslantirish bo’lib, unga mos teskari almashtirishlar quyidagicha aniqlanadi:
. (4)
koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasining ko’rinishini topish uchun dastlab birinchi tartibli va xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
,
.
Bu xususiy hosilalar yordamida Laplas tenglamasi uchun kerakli bo’lgan ikkinchi tartibli va xususiy hosilalarni hisoblaymiz:


.

.
Topilgan bu ifodalarni , ya’ni Laplas tenglamsiga qo’yib, uning qutb koordinatalardagi ko’rinishini olamiz:

.
Ushbu tenglamani soddalashtirsak u quyidagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi:
.
Agar differensiallah uchun

tenglikning o’rinli ekanligini hisobga olsak yuqoridagi tenglamani
(5)
ko’rinshda yozish mumkin bo’ladi. Odatda (5) tenglama Laplas tenglamasining qutb koordinatalar sistemasidagi tasviri hisoblanadi.