16-mavzu. Ko’p o’zgaruvchili funksiya xususiy hosilalari. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. Reja

S(x, R)= {y: d(x, y)< R}
Izoh. s> 0 son uchun S(x,s)- x nuqtaning, «s -atrofi» ham deyiladi. S(x,R) = {y: d(x,y) < R} to‘plam esa yopiq shar deyiladi.
Ta’rif. Agar tim f (x_x,x₂,...,x_n) = a tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a son
d(x,x0 )——0




(x(⁰⁾, x(⁰⁾

(0)1

ga
Z = f (x_x, x₂,...,x_n) funksiyaning, x = (x_x, x₂,...,x_n) nuqta x₀
intilgandagi limiti deyiladi. Bu hol quyidagicha yoziladi
lim f (x) = a









1- misol.

tim
x_l —0 x2 ——0

2 , 2 ^x1 + ^x2
+ x₂ +1 — 1

(x²
tim-—
x₁ —0 x₂ — 0

+ ^ )(^/x + ^ +1 +1)
x + ^ +1 — 1

tim
x_l —0 x₂ — 0

)

2.
x^x₀ ^V '
2 - misol.
lim¹ⁿ⁽¹,—^x—^{y )} limitlarni hisoblashda x va y nuqtalar orasidagi masofani










p = t]x² + y² deb belgilaylik. x^0, y^0 bo’lgandap^0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, lim¹^!^-Ы²» = HmM-P²» = Цт^(1п(1 -P²»' = lim^{1 -}Р^{Г p)} = 0

x—0 y—0

2 , 2 x + y

p—0

P

p—0

P

p—0

1
x— yx²+y²
2. Xususiy hosilalar
Ikki L va K erkli o’zgaruvchili Q = f (K,L) ishlab chiqarish funktsiyasining
o’zgarishida bir o’zgaruvchi o’ssa boshqasi o’zgarmas bo’ladi. Agar K o’zgarmasdan L o’ssa, u holda umumiy mahsulot ishlab chiqarish uchun mehnatga taqsimot ( TPl ) o’ zgarishini kuzatamiz (TP_L xuddi Q ishlab chiqarish elementi kabi). Bu qoida, rasmdagi shakl ko’rinishida bo’ladi. Mikroekonomikada L(MP_L) marjinal mahsulot, L ning bir birlik orttirmasi, K ning biror berilgan qiymati shartida aniqlanadi. Yana ham aniqroq ta’rif, bu MP_L L bo’yicha TPl ning o’zgarish tezligidir . Shunday qilib 10.1- rasmda M nuqtada MP_L taklif funktsiya o’zining maksimumiga erishadi va TPl funktsiya o’zining maksimumiga N nuqtada erishsa, u holda MPl taklif funktsiya nolga teng bo’ladi.
Xususiy hosilani hisoblash, bu funktsiya, bir o’zgaruvchi bo’yicha o’zgarganda, boshqa argumentlari o’zgarmasdan qolganda, funktsiyaning o’zgaruvchan argument bo’yicha tezligini topish usulidir. Shuning uchun, Q = f (K,L) ishlab chiqarish funktsiyasining L bo’yicha xususiy hosilasi
hisoblanganda, K ni o’zgarmas deb, umumiy mahsulotdagi L ning o’zgarish tezligini hosil qilamiz, boshqacha aytganda MPL.
Xususiy hosilaning asosiy qoidasi, funktsiyadan bir o’zgaruvchi bo’yicha hosila olinsa, boshqalari o’zgarmas deb hisoblanadi. d belgi xususiy hosilalarda, ‘d’ belgisi esa bir o’zgaruvchili funktsiyalardan olingan hosilalarda qo’llaniladi. Masalan, Q ishlab chiqarish funktsiyasidan L bo’yicha olingan xususiy hosila quyidagicha 5Q/5L yoziladi.
Misol. Agar y = I4x + 3z² bo’lsa, bu funktsiyadan x va z bo’yicha hususiy hosilalarni toping.
Dy
Yechish. y dan х bo’yicha olingan xususiy hosila = 14
Dx
(3z² o’zgarmas deb olinadi va faqat x bo’yicha differentsiallanadi). Shu kabi, y dan z bo’yicha olingan xususiy hosila
^ = 6z
Sz
(14x o’zgarmas hisoblanib yo’qoladi. 3z² ifoda faqat z bo’yicha differentsiallanadi). Misol. Ishlab chiqarish funktsiyasi uchun Q = 20K⁰ L ⁵

1. 
   Funktsiyani keltirib chiqaring;
   
2. 
   MP_L ning kamayishini ko’rsating.
   

Yechish.
1) Ishlab chiqarish Q = 20K^{0 5}L⁰ ■ ⁵ funktsiyasidan, L bo’yicha хususiy hosila olib MP_L ni topamiz. Demak


10K^{0 5}
~l°^r
mp =-^Q = 10K^{0 5} l^-0 ■ ^5
L 6L
MP_L funktsiyaga e’tibor bersak, bu funktsiya 10.1 rasmdagi funktsiyadan farq qilib, uzluksiz pastga qarab ketadi.
2) Agar MP_L funktsiyani maxraji va suratini 2L^{a 5}ga ko’paytirsak, quyidagini hosil qilamiz

f 2 L ^5 ^	f 10K^0 ■ ^5^л	20K^0,5 L^0 5 Q
2 L^5v^2L J	l0.5 v ^L J	2L 2L

mp_l





(1)
K va L larning kombinatsiyasi bitta chiqish signalini beradi. Demak, agar Q o’zgarmas qolib, L o’ssa, u holda (1) funktsiya kamayadi.
Endi biz Kobba-Duglas funktsiyasini Q = AK^aL^p formatda, ixtiyoriy 0 p < 1 larda, limitik ishlab chiqarish kamaюvchi ekanligini ko’ramiz. Agar K fiksirlangan bo’lib, L o’zgaruvchi miqdor bo’lsa, limitik mahsulot L xususiy hosila yordamida topiladi. Demak
Q = AK^aL^p


PAK^a
p-^p
MP = ^ = pAK^aL^p-1
L SL
Agar K o’zgarmas deb olinsa, shuningdek a, p, A berilgan bo’lsa, pAK^a surat ham o’zgarmas bo’lib qoladi. Maxrajdagi L o’ssa, L~^p ham kattalashadi va funktsiya MPl kamayadi, ya’ni, limitik mahsulot L kamayadi.
Shuningdek, L o’zgarmas deb olinib K o’suvchi bo’lsa,


p
MP_K = = aAK^a-1L^p =
^K SK K^l-^a
kamayadi.
Ishlab chiqarish funktsiyasida o’zgaruvchilar soni ikkitadan ko’p bo’lsa ham shu printsip takrorlanadi.
Masalan, agar Q = AX^X^Xd





-^SQ = cAXfXbX^Xd
dX₃ 12 3 4

cAX^XbXj

X.

c-1
bu yerda X, X₂, X₃ va X₄ ko’rsatkichlar, u holda X 3 ko’rsatkichning marjinal ishlab chiqarish darajasi
bo’lib, X₃ kamaygan sari o’sadi. Bunda X, X, X va X kiruvchi o’zgaruvchilar bo’lsa, u holda X o’ zgaruvchi bo’yicha marjinal mahsulot quyidagicha bo’lib





^dQ = eAX^aX^b₇X^c-^lX^d.
dX, 1234

cAX^XbXdd

X

c-1
bo’lib X₃ kamaygan sari, u o’sadi.
Kobba-Duglas ishlab chiqarish funktsiyasining marjinal mahsuloti uzluksiz nolgacha kamayib, Lning chеkli qiymatlarida “eng kichik limitik” qiymatga ega bo’lmaydi; ya’ni, ular hеch qachon minimal nuqtaga erishmaydi. Аgar, masalan,
Q = 25K⁰⁴ L⁵




Minimumning birinchi tartibli sharti

12.5K⁰⁴
L⁰ . ⁵

= 0
MR = ^dQ = 12.5K ⁰⁴L~^{05 L} dL
Q=0, faqat K=0 bo’lsagina o’rinlidir yoki L chеksiz katta bo’lsa, o’rinli. SHuningdеk, L ning chekli qiymatlari uchun L qancha katta bo’lmasin MP_L musbatligicha qolavеradi, bu shuni bildiradiki izokvanta chizig’i bo’yicha ikki o’zgaruvchili Kobba-Duglas ishlab chiqarish funktsiyalari hеch qachon orqaga qayrilmaydi, ya’ni u noiqtisodiy sohadir.
Ishlab chiqarish funktsiyasining boshqa mumkin bo’lgan ko’rinishlari. Masalan, agar
Q = 4.6K² + 3.5L² - 0.012K³L³
Bo’lsa, avval MR o’sib, keyin kamayadi
MR = ^dQ = 7L - 0.036K³L^{2 L} dL
L ning o’sishi bilan, MR funktsiyaning bukilishi, musbatdan manfiy qiymatga qarab o’zgaradi
dMP
bukilish = ^d—^L = 7L - 0.072K ³L
dL
MPl funktsiyaning qiymati va ko’rinishi K ga bog’liq bo’lib qoladi
Misol. Agar q = 20x⁰⁶y^{0 2}x^{0 3} bo’lsa, q ning x, y, z bo’yicha o’zgarish tezligini (hosilasini) toping.
Yechish. Bunda hozir uchta bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchi qatnashyapti, lekin bunda ham юqoridagi qoidalarga amal qilinadi, ya’ni, ikkita o’zgaruvchi o’zgarmas deb qaraladi. Shuning uchun y va z o’zgarmas bo’lsin
^dq = 12 x^{0 4} y⁰ ■ ² x ^{0 3} dx
Shu kabi, x va z o’zgarmas bo’lsin
^dq = 4 x⁰.⁶ y-°. ⁸ z⁰ ■ ³ dy
va x vay o’zgarmas bo’lsin
^dq = 6 x ^{0 6} y ^{0 2} z-^{a 7} dz
Ko’p o’zgaruvchili funktsiyalardan xususiy hosila olayotganda xato qilmaslik uchun, o’zgarmaydigan o’zgaruvchilarni birinchi bo’lib yozib olib, so’ng
differentsiallash кегак. Masalan x bo’yicha differentsiallashda y⁰²z⁰³ ni yozib olib, y va z o’zgarmas deb olindi.
Agar funktsiya juda ko’p o’zgaruvchilardan tashkil topsa, xususiy hosilani belgilash
df
quyidagi kabibo’ladi. Masalan, / = /(у,л'₂,...,у,) funktsiyauchun — ningo’miga
дх_г
f ni, — ning o’rniga — ni va hokazolami yozish mumkin.
dx₂
Misol. f_j ni toping bunda j ishlab chiqarish funktsiyasining kirish nomerlari
n
= £^6Xi'⁵
i=1
Yechish. Bu funktsiya qo’shiluvchilar yig’indisidan iborat. Faqat bitta j chi had uchun x_j mavjud. Agar x_j bo’yicha differentsiallasak, qolgan hadlar o’zgarmas bo’ladi va yo’qoladi. Shuning uchun, 6x⁰/ hadni x_j bo’yicha differentsiallash
quyidagicha bo’ladi — = 3x_y^{0 5}



fii =

C— dx 2
Bu qisqa belgi ikkinchi tartibli xususiy hosilalarda ham qo’llaniladi. Masalan,
Ikkincha tartibli xususiy hosila funktsiyaning birincha tartibli xususiy hosilasini differentsiallash yo’li bilan topiladi. Agar funktsiya ikkita bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchidan iborat bo’lsa, to’rtta ikkincha tartibli xususiy hosila hosil bo’ladi. Misol tariqasida,
Q = 25K⁰⁴ L⁰³
Ikkita birincha tartibli xususiy hosila mavjud
^CQ = 10K^{0 6}L^{0 3 CQ} = 7.5K^{0 4} L⁰⁷
CK CL
Ular K va L ga bog’liq bo’lgan limitik mahsulot funktsiyasidan iborat. Bu funktsiyalarni ikki marta differentsiallab quyidagini hosil qilamiz
= 6K-i. 6jo. ³ = _5.25K^{0 4}l-° ⁷






Bu ikkincha tartibli xususiy hosila, limitik mahsulot funktsiyasining o’zgarish tezligini ifodalaydi. Bu misoldan ko’rinadiki, MR_L (ya’ni C²Q / CL²) ning og’ishi doimo manfiy bo’ladi (K va L musbat qiymatlar qabul qilsa), L ning o’sishi bilan, boshqa bir teng shartlarda, bu og’ishning absotot qiymati kamayadi.
Undan tashqari biz CQ /CK o’zgarish tezligini L bo’yicha o’zgaruvchilar, hamda CQ / CL o’zgarish tezligini K bo’yicha o’zgaruvchilar tezligi yordamida aniqlashimiz mumkin. SHunda ular:
^{C Q} _ ^jr-0.6j0.7 ^{C Q}

0.6 г-0.7

CK CL

CLCK

= 3K-_^b L
dK² dL²
kabi ifodalanadi va kesishuvchi xususiy hosilalar deyiladi.
Bular shuni ko’rsatadiki, Qning biror kirim bo’yicha o’zgarish tezligi, boshqa kirim bo’yicha ham o’zgarar ekan. Bu misoldan quyidagini hosil qilamiz
5 ²Q 5 ²Q
5K5L 5L5K
Aslida kesishuvchi xususiy hosilalar har doim mos ravishda bir biriga teng bo’ladi.























(1)